Виды функциональных рядов: степенные, Лорана, Пюизо, Фурье

Функциональный ряд: общее понятие

Повторим всё то, к чему мы пришли в вопросах 36 (определения) и 37 (свойства).

Функциональным рядом называется ряд вида

${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x),$

где $f_n(x)$ — функции, определённые на некотором множестве $X\subseteq \mathbb{R}$.

Различают три вида сходимости:

• “Поточечная. Ряд сходится в точке $x_0$, если числовой ряд $\sum f_n(x_0)$ сходится.”
• “Равномерная. Частичные суммы $S_N(x)\rightrightarrows S(x)$ на $X$, то есть $N$ не зависит от $x$: $\forall \epsilon >0\exists N\forall n\ge N\forall x\in X:|S_n(x)-S(x)|<\epsilon .$”
• “Абсолютная. Ряд $\sum |f_n(x)|$ сходится.”

Равномерная сходимость сохраняет непрерывность членов, допускает почленное интегрирование и дифференцирование из свойств функциональных рядов.

---

Степенные ряды (Тейлора, Маклорена)

Определение

Степенной ряд с центром $a$ — это функциональный ряд вида

${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(x-a{)}^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+\cdots$

Замена $t=x-a$ сводит его к ряду $\sum c_n{t}^n$, центрированному в нуле.

Примером степенного ряда может послужить Ряд Тейлора функции $f$ в точке $a$ — это степенной ряд с коэффициентами

$c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!},\text{то есть}f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n.$

При $a=0$ ряд называется рядом Маклорена.

Стандартные разложения

$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$, $R=+\infty$ $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $R=+\infty$ $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$, $R=+\infty$ $\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$, $R=1$

---

Ряды Лорана

Определение

Ряд Лорана в точке $a$ — это функциональный ряд, допускающий отрицательные степени:

${\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n(z-a{)}^n={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n+{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{c_{-n}}{(z-a{)}^n}.$

Первая сумма — аналитическая часть, вторая — сингулярная часть.

Ряды Лорана возникают в комплексном анализе; вещественная переменная $x$ заменяется комплексной $z$.

Пример

Для $\mathrm{ctg}x$ в окрестности $x=0$:

$\mathrm{ctg}x=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\cdots$

---

Ряды Пюизо

Определение

Ряд Пюизо — обобщение степенного ряда, в котором показатели степени могут быть дробными рациональными:

${\sum }_{k=k_0}^{\infty }{c}_k(x-a{)}^{k/n},$

где:

• $n\in \mathbb{N}$ — общий знаменатель дробных степеней,
• $k_0\in \mathbb{Z}$ — начальный индекс (может быть отрицательным),
• $c_k$ — коэффициенты.

Пример

Разложение $\sqrt{x+x^2}$ в окрестности $x=0$ ($2$ не делит $k$):

$\sqrt{x+x^2}=x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{8}{x}^{\frac{5}{2}}+\cdots ={\sum }_{k=1,2\nmid k}^{\infty }{c}_k{x}^{k/2}.$

---

Ряды Фурье

Более обширное определение и свойства этого ряда будут рассмотрены в вопросе 41.

Тригонометрический ряд Фурье

Пусть $f(x)$ — периодическая с периодом $2\pi$, интегрируемая на $[-l,l]$. Её тригонометрический ряд Фурье:

$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)),$

где коэффициенты вычисляются по формулам:

$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos (nx)dx,n\in \mathbb{N}\cup \{0\}$

$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin (nx)dx,n\in \mathbb{N}$

Если $f$ чётная, то $b_n=0$; если нечётная, то $a_n=0$.

Комплексная форма (не обязательно)

Используя формулу Эйлера $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$, ряд записывается компактнее:

$f(x)={\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{inx},$

где

$c_n=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-inx}dx.$

Связь с вещественными коэффициентами:

$c_0=\frac{a_0}{2},c_n=\frac{a_n-i{b}_n}{2},c_{-n}=\frac{a_n+i{b}_n}{2},n\ge 1.$