Свойства равномерно сходящихся рядов

1. Почленный переход к пределу

Предельная точка - это точка, в любой окрестности которой есть соседняя (эквивалентно тому, что их бесконечно много)

Пусть задан функциональный ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k(x)$, где $f_k:D\to \mathbb{R}$, и $x_0$ — предельная точка множества $D$. Если выполнены два условия:

1. Ряд равномерно сходится на $D$ к сумме $S(x)$.
2. Для каждого $k\in \mathbb{N}$ существует конечный предел ${\lim }_{x\to x_0}{f}_k(x)=a_k$.

Тогда числовой ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$ сходится к некоторой сумме $A$, причем предел суммы функционального ряда в точке $x_0$ равен сумме пределов его членов:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }S(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }\sum _{k=1}^{\infty }{f}_k(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_k(x)=A$$

Доказательство

Сводится к применению теоремы о перестановке двух предельных переходов для функциональной последовательности частичных сумм $S_n(x)={\sum }_{k=1}^n{f}_k(x)$. Для $S_n(x)$ мы имеем равномерную сходимость к $S(x)$ на $D$ и существование пределов ${\lim }_{x\to x_0}{S}_n(x)={\sum }_{k=1}^n{a}_k$. Следовательно, по теореме для последовательностей, пределы ${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{x\to x_0}{S}_n(x)$ и ${\lim }_{x\to x_0}{\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x)$ существуют и равны друг другу,.

2. Непрерывность суммы ряда

Пусть $f_k:D\to \mathbb{R}$, $x_0\in D$. Если:

1. Ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k(x)$ равномерно сходится на $D$ к сумме $S(x)$.
2. Все члены ряда $f_k(x)$ непрерывны в точке $x_0$.

Тогда сумма ряда $S(x)$ также непрерывна в точке $x_0$. (В частности, если все $f_k$ непрерывны на всем $D$, то и сумма $S$ непрерывна на $D$).

Доказательство:

Рассмотрим $n$-ю частичную сумму $S_n(x)={\sum }_{k=1}^n{f}_k(x)$. Как конечная сумма непрерывных в точке $x_0$ функций, $S_n(x)$ непрерывна в $x_0$.

По условию $S_n(x)\rightrightarrows S(x)$ на $D$. Тогда, используя возможность перестановки пределов, получаем: ${\lim }_{x\to x_0}S(x)={\lim }_{x\to x_0}{\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x)={\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{x\to x_0}{S}_n(x)={\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x_0)=S(x_0)$ Равенство ${\lim }_{x\to x_0}S(x)=S(x_0)$ по определению означает непрерывность суммы ряда в точке $x_0$,.

Последующие свойства не являются чем-то сверхъестественным, так что учитывая размеры этого вопроса, расписывать их вряд ли понадобится.

3. Почленное интегрирование ряда

Пусть функции $f_k:[a,b]\to \mathbb{R}$ непрерывны на отрезке $[a,b]$ ($f_k\in C[a,b]$). Если функциональный ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k(x)$ сходится равномерно к функции $S(x)$ на $[a,b]$, то сумма ряда $S(x)$ непрерывна (и следовательно, интегрируема) на $[a,b]$, причем ряд можно интегрировать почленно:

$${\int }_a^x\left(\sum _{k=1}^{\infty }{f}_k(t)\right)dt=\sum _{k=1}^{\infty }{\int }_a^x{f}_k(t)dt,x\in [a,b]$$

Доказательство:

Зададим $\epsilon >0$. В силу равномерной сходимости $S_n(x)\rightrightarrows S(x)$, существует номер $k_0$, такой что для всех $n>k_0$ и для всех $t\in [a,b]$ выполняется неравенство: $|S(t)-S_n(t)|<\frac{\epsilon }{b-a}$ Тогда для любого $x\in [a,b]$ оценим разность интегралов: $\left|{\int }_a^x{S}_n(t)dt-{\int }_a^{x}S(t)dt\right|\le {\int }_a^x|S_n(t)-S(t)|dt\le \frac{\epsilon }{b-a}(x-a)\le \epsilon$ Это означает, что последовательность интегралов от частичных сумм равномерно сходится к интегралу от суммы ряда, что равносильно утверждению теоремы,.

4. Почленное дифференцирование ряда

Пусть функции $f_k:[a,b]\to \mathbb{R}$ непрерывно дифференцируемы на $[a,b]$ ($f_k\in C^1[a,b]$). Если выполнены два условия:

1. Существует хотя бы одна точка $x_0\in [a,b]$, в которой числовой ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k(x_0)$ сходится.
2. Ряд из производных ${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k^{\prime }(x)$ сходится на $[a,b]$ равномерно к некоторой сумме $\tilde{S}(x)$.

Тогда исходный ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k(x)$ сходится на $[a,b]$ равномерно к некоторой сумме $S(x)$, причем $S^{\prime }(x)=\tilde{S}(x)$ на всем $[a,b]$ (то есть ряд можно дифференцировать почленно). В частности, $S\in C^1[a,b]$.

Доказательство:

По условию 2, последовательность $S_n^{\prime }(x)$ сходится равномерно к $\tilde{S}(x)$, а все $S_n^{\prime }(x)$ непрерывны. Следовательно, $\tilde{S}(x)$ также непрерывна. По теореме о почленном интегрировании, равномерно сходящуюся последовательность $S_n^{\prime }(t)$ можно проинтегрировать от $x_0$ до $x$: ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_{x_0}^x{S}_n^{\prime }(t)dt={\int }_{x_0}^x\tilde{S}(t)dt$ По формуле Ньютона-Лейбница ${\int }_{x_0}^x{S}_n^{\prime }(t)dt=S_n(x)-S_n(x_0)$. Отсюда: ${\lim }_{n\to \infty }(S_n(x)-S_n(x_0))={\int }_{x_0}^x\tilde{S}(t)dt$ По условию 1, предел ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x_0)$ существует (обозначим его за $C$). Тогда существует и равномерный предел последовательности $S_n(x)$: $S(x)={\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x)=C+{\int }_{x_0}^x\tilde{S}(t)dt$ По теореме о производной интеграла по верхнему пределу (так как $\tilde{S}(t)$ непрерывна), дифференцирование обеих частей дает: $S^{\prime }(x)=\tilde{S}(x)$ Что и доказывает справедливость почленного дифференцирования ряда.