Тригонометрические ряды Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Тригонометрические ряды Фурье.

Определение

Тригонометрическим рядом Фурье функции $f(x)$ на отрезке $[-\pi ,\pi ]$ называется ряд вида: $\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^{\infty }(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$

Предполагаем, что ряд сходится равномерно. Это дает право интегрировать его почленно.

Вывод $a_m$ (при $m\ge 1$):

Домножим обе части исходного ряда на $cos(mx)$ и проинтегрируем на отрезке $[-\pi ,\pi ]$:

$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos mxdx=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mxdx+\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kx\cos mxdx+\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin kx\cos mxdx$$

В силу ортогональности тригонометрической системы ($1,cos(x),sin(x),...,cos(kx),sin(kx)...$) над $[\pi ;\pi ]$:

1. Интеграл от одиночного косинуса равен 0.
2. Все интегралы вида $sin(kx)cos(mx)$ равны 0.
3. Все интегралы $cos(kx)cos(mx)$ при $k\ne m$ равны 0.

Остается одно слагаемое в первой сумме, где $k=m$:

$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos mxdx=a_m{\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}mxdx$$

Так как интеграл от квадрата косинуса на этом промежутке равен π, получаем:

$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos mxdx=\pi a_m$$

Отсюда строго выражается искомый коэффициент $a_m$: $a_m=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos mxdx$

Вывод $a_0$:

Проинтегрируем исходный ряд на $[-\pi ,\pi ]$ и воспользуемся ортогональностью триг. системы: ${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx+{\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kxdx+{\sum }_{k=1}^{\infty }{b}_k{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin kxdx$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx=\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx$$

Интеграл от единицы равен длине отрезка интегрирования, то есть 2π:

$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx=\frac{a_0}{2}\cdot 2\pi =\pi a_0$$

Отсюда выражаем базовый коэффициент $a_0$: $a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$

Вывод $b_m$ при $m\ge 1$:

Домножаем исходный ряд на sin(mx) и интегрируем на $[-\pi ,\pi ]$. Из-за ортогональности все косинусы и слагаемые с несовпадающими частотами зануляются. Остается только интеграл от квадрата синуса (который также равен π):

$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin mxdx=b_m{\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}mxdx=\pi b_m$$

Отсюда получаем финальную формулу для $b_m$: $b_m=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin mxdx$

---

Свойства тригонометрического ряда Фурье. Четность функции

Периодичность: Сумма тригонометрического ряда Фурье на всей числовой прямой является периодической функцией с периодом $2\pi$.

Четность функции: Если $f(-x)=f(x)$, то

• Произведение четной $f(x)$ на нечетный $sin(mx)$ дает нечетную функцию.
• Интеграл нечетной функции по симметричному отрезку $[-\pi ,\pi ]$ всегда равен $0$.

Следовательно, для любой четной функции синусные коэффициенты зануляются:

$$b_m=0\forall m\in \mathbb{N}$$

Нечетность ф-ции: Если $f(-x)=-f(x)$, то

• Произведение нечетной $f(x)$ на четный $cos(mx)$ дает нечетную функцию.
• Интеграл от нее на симметричном отрезке $[-\pi ,\pi ]$ зануляется.

Следовательно, для любой нечетной функции косинусные коэффициенты и свободный член равны $0$:

$$a_0=0,a_m=0\forall m\in \mathbb{N}$$