Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Критерии равномерной сходимости функционального ряда: Коши, Вейерштрасса (мажорантный признак), Абеля, Дирихле

1. Функциональные ряды и поточечная сходимость

Функциональной последовательностью называется последовательность $f_k:X\to \mathbb{R}$, где $k\in \mathbb{N}$. То есть каждый элемент последовательности — это функция, заданная на некотором множестве $X$.

Символ вида

$$\sum _{k=1}^{\infty }{f}_k(x)=f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_k(x)+\dots$$

называется функциональным рядом с общим членом $f_k$.

Говорят, что функциональная последовательность $f_k$ сходится поточечно на множестве $D\subset X$, если для каждой конкретной точки $x$ числовая последовательность имеет предел:

$$\forall x\in D\exists \underset{k\to \infty }{\lim }{f}_k(x)\in \mathbb{R}$$

Множество $D$ называется множеством поточечной сходимости. Предельная функция $f(x)$ определяется как поточечный предел: $f(x)={\lim }_{k\to \infty }{f}_k(x)$.

Функциональный ряд сходится поточечно на множестве $D$, если в каждой точке $x\in D$ сходится числовой ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k(x)$. Это эквивалентно сходимости функциональной последовательности частичных сумм $S_n(x)={\sum }_{k=1}^n{f}_k(x)$ на множестве $D$.

2. Равномерная сходимость ($S_n(x)\rightrightarrows S(x)$)

Ряд называется равномерно сходящимся на множестве $D$ к функции $S(x)$, если номер $n_0(\epsilon )$ зависит только от $\epsilon$ и является единым для всех точек $x\in D$: $\forall \epsilon >0\exists n_0(\epsilon )\in \mathbb{N}:\forall n>n_0\forall x\in D⟹|S_n(x)-S(x)|<\epsilon$

Отличие от поточечной сходимости: В случае поточечной сходимости номер $k_0$ зависит как от $\epsilon$, так и от выбора точки $x$. При равномерной сходимости $k_0$ зависит только от $\epsilon$ и является единым сразу для всех точек $x\in D$.

Критерий через остаток: Ряд сходится равномерно $⟺$ его $n$-й остаток $R_n(x)={\sum }_{k=n+1}^{\infty }{f}_k(x)$ равномерно стремится к нулю: ${\lim }_{n\to \infty }{\sup }_{x\in D}|R_n(x)|=0$

3. Критерии и признаки равномерной сходимости

Критерий Коши

Ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k(x)$ сходится равномерно на $D$ $⟺$ выполняется условие фундаментальности: $\forall \epsilon >0\exists n_0\in \mathbb{N}:\forall n>n_0\forall p\in \mathbb{N}\forall x\in D⟹\left|{\sum }_{k=n+1}^{n+p}{f}_k(x)\right|<\epsilon$

Эквивалентная формулировка для последовательности функций $S_n(x)$ $\forall \epsilon >0\exists N\in \mathbb{N}:\forall n,m\ge N\forall x\in D:\left|S_n(x)-S_m(x)\right|<\epsilon$ О том, почему она эквивалентна, можно прочитать в доказательстве Критерия Коши (вопрос 24). Но идея в том, что ${\sum }_{k=n+1}^{n+p}{f}_k(x)=S_{n+p}(x)-S_n(x)$.

Доказательство:

• Необходимость ($⟹$): Пусть ряд сходится равномерно к $S(x)$, то есть $S_n(x)\rightrightarrows S(x)$. Фиксируем $\epsilon >0$. Тогда $\exists n_0:\forall n>n_0\forall x\in D⟹|S_n(x)-S(x)|<\frac{\epsilon }{2}$. Так как $n+p>n_0$, по неравенству треугольника для всех $x\in D$: $$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}{f}_k(x)\right|=|S_{n+p}(x)-S_n(x)|\le$$ $$\le |S_{n+p}(x)-S(x)|+|S(x)-S_n(x)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$
• Достаточность ($⟸$): Из условия Коши следует поточечная фундаментальность числовой последовательности $S_n(x)$ в каждой точке $x$ (ну т.е. мы переходим к формулировке из пояснения), а значит $\exists {\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x)=S(x)$. В исходном неравенстве $|S_{n+p}(x)-S_n(x)|<\epsilon$ устремим $p\to \infty$. Получаем: $\forall n>n_0\forall x\in D⟹|S(x)-S_n(x)|\le \epsilon ,$ что по определению означает равномерную сходимость $S_n(x)\rightrightarrows S(x)$.

Хз нужны ли доказательства для последних двух признаков и сами эти признаки. Мы на лекциях их не доказывали. Очень жаль людей, кому попалось это гробище

Признак Вейерштрасса

Пусть для ряда ${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k(x)$ на множестве $D$ существует сходящийся числовой ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$, где $a_k\ge 0$, такой, что: $|f_k(x)|\le a_k,\forall x\in D$ Тогда функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно на $D$.

Доказательство:

Фиксируем $\epsilon >0$. Из сходимости $\sum a_k$ по критерию Коши $\exists n_0:\forall n>n_0\forall p\in \mathbb{N}⟹{\sum }_{k=n+1}^{n+p}{a}_k<\epsilon$. Тогда по неравенству треугольника для функционального ряда сразу для всех $x\in D$: $\left|{\sum }_{k=n+1}^{n+p}{f}_k(x)\right|\le {\sum }_{k=n+1}^{n+p}|f_k(x)|\le {\sum }_{k=n+1}^{n+p}{a}_k<\epsilon .$ По критерию Коши функциональный ряд сходится равномерно на $D$.

Признак Дирихле

Ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k(x)b_k(x)$ сходится равномерно на $D$, если:

1. Частичные суммы $A_n(x)={\sum }_{k=1}^n{a}_k(x)$ равномерно ограничены: $\exists M>0:|A_n(x)|\le M\forall n\in \mathbb{N},\forall x\in D$
2. Функции $b_k(x)$ при каждом $x\in D$ монотонны по $k$ и равномерно стремятся к нулю: $b_k(x)\rightrightarrows 0$ на $D$.

Признак Абеля

Ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k(x)b_k(x)$ сходится равномерно на $D$, если:

1. Ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k(x)$ сходится равномерно на $D$.
2. Функции $b_k(x)$ при каждом $x\in D$ монотонны по $k$ и равномерно ограничены: $\exists M>0:|b_k(x)|\le M\forall k\in \mathbb{N},\forall x\in D$.