Признаки Абеля и Дирихле сходимости рядов

Признаки Абеля и Дирихле

Применяются к рядам вида $\sum a_k{b}_k$ с «осциллирующими» $a_k$ и монотонными $b_k$. Основной инструмент — преобразование Абеля.

Теорема (признаки Абеля–Дирихле)

Пусть последовательность $b_k$ монотонна. Тогда ряд $\sum a_k{b}_k$ сходится при выполнении хотя бы одного из двух условий:

1. Признак Дирихле: частичные суммы $A_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ ограничены ($|A_n|\le C$) и $b_k\to 0$.
2. Признак Абеля: ряд $\sum a_k$ сходится и $b_k$ ограничена.

Доказательство признака Дирихле

Преобразование Абеля было рассмотрено в предыдущем, 30-м вопросе. Для любых последовательностей $\{a_k\}$, $\{b_k\}$ и $A_0=0$: ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i=A_n{b}_n+{\sum }_{i=1}^{n-1}{A}_i(b_i-b_{i+1}).$

Применим преобразование Абеля к ${\sum }_{k=n+1}^{n+p}{a}_k{b}_k$:

$$\sum _{k=n+1}^{n+p}{a}_k{b}_k=A_{n+p}{b}_{n+p}-A_n{b}_{n+1}+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}{A}_k(b_k-b_{k+1}).$$

Из ограниченности $A_k$ и монотонности $b_k$:

$$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}{a}_k{b}_k\right|\le C(|b_{n+p}|+|b_{n+1}|+|b_{n+1}-b_{n+p}|)\le 2C(|b_{n+1}|+|b_{n+p}|).$$

Т.к. $b_k\to 0$, правая часть $\to 0$ — по критерию Коши ряд сходится.

Доказательство признака Абеля

$b_k$ монотонна и ограничена $\Rightarrow$ $\exists b=\lim b_k$. Положим $c_k=b_k-b\to 0$ монотонно. Ряд $\sum a_k$ сходится $\Rightarrow$ $|A_n|\le C$. По признаку Дирихле ряд $\sum a_k{c}_k$ сходится. Тогда

$$\sum a_k{b}_k=\sum a_k{c}_k+b\sum a_k$$

— сумма двух сходящихся рядов, которая так же сходится.