Преобразование Абеля для сумм

Преобразование Абеля

Для любых последовательностей $\{a_k\}$, $\{b_k\}$ и $A_0=0$:

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=A_n{b}_n+\sum _{i=1}^{n-1}{A}_i(b_i-b_{i+1}).$$

Доказательство

Подставляем $a_i=A_i-A_{i-1}$:

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=\sum _{i=1}^n{A}_i{b}_i-\sum _{i=1}^n{A}_{i-1}{b}_i.$$

В первой сумме выносим последнее слагаемое $A_n{b}_n$; во второй делаем сдвиг $i\mapsto i+1$:

$$=A_n{b}_n+\sum _{i=1}^{n-1}{A}_i{b}_i-\sum _{i=1}^{n-1}{A}_i{b}_{i+1}=A_n{b}_n+\sum _{i=1}^{n-1}{A}_i(b_i-b_{i+1}).$$

Следствие

Если $m\le A_k\le M$ и $b_i\ge b_{i+1}\ge 0$, то

$$m{b}_1\le \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\le M{b}_1.$$

Доказательство

Т.к. ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i=A_n{b}_n+\text{что-то большее нуля}$, то оценка снизу очевидна.

Т.к. $b_n\ge 0$ и $b_i-b_{i+1}\ge 0$:

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\le M{b}_n+\sum _{i=1}^{n-1}M(b_i-b_{i+1})=M{b}_n+M(b_1-b_n)=M{b}_1.$$