Наибольшее и наименьшее значения функции. Неявные функции. Векторная функция скалярного аргумента

1.16 Наибольшее и наименьшее значения функции

Пусть функция $u=f(x_1,\dots ,x_n)$ определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области $D$ и имеет в этой области конечные частные производные. По второй теореме Вейерштрасса в этой области найдётся точка $(x_1^0,\dots ,x_n^0)$, в которой функция достигает своего наибольшего (или наименьшего) значения.

Если эта точка лежит внутри области $D$, то в ней будет достигнут экстремум — максимум (или минимум). Однако своего наибольшего (или наименьшего) значения функция может достигать и на границе области.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области — это следующая последовательность действий:

1. Найти все внутренние точки, подозрительные на экстремум, и вычислить в них значения функции.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области.
3. Сравнить полученные значения между собой и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Нахождение наибольшего значения функции в области

Найдём наибольшее значение функции $u=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ в области:

$$0\le x\le \pi ,0\le y\le \pi$$

Найдём стационарные точки внутри области:

$$\{\begin{array}{l}{u}_x^{\prime }=\cos x-\cos (x+y)=0\\ u_y^{\prime }=\cos y-\cos (x+y)=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\cos (x+y)=\cos x\\ \cos y=\cos x\end{array}$$

Так как $x,y\in [0,\pi ]$, из равенства $\cos y=\cos x$ следует $x=y$. Подставляя в первое уравнение, получаем:

$$\cos 2x=\cos x⟹2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$$ $$\cos x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm 3}{4}⟹[\begin{array}{rl}\cos x& =1\\ \cos x& =-\frac{1}{2}\end{array}$$

Значение $\cos x=1$ соответствует точкам границы $(0,0)$ и $(\pi ,\pi )$. Исключая границу области, получаем:

$$\cos x=-\frac{1}{2}⟹x=y=\frac{2\pi }{3}$$

Значение функции в стационарной точке:

$$u\left(\frac{2\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \frac{2\pi }{3}+\sin \frac{2\pi }{3}-\sin \frac{4\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

При исследовании границ области:

1. При $x=0$: значение функции $u=\sin y-\sin (0+y)=0$.
2. При $y=0$: значение функции $u=\sin x-\sin (x+0)=0$.
3. При $x=\pi$: значение функции $u=2\sin y$. Производная $u_y^{\prime }=2\cos y=0⟹y=\frac{\pi }{2}$, откуда $u\left(\pi ,\frac{\pi }{2}\right)=2$.
4. При $y=\pi$: аналогично $u=2\sin x$. Производная $u_x^{\prime }=2\cos x=0⟹x=\frac{\pi }{2}$, откуда $u\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)=2$.
5. В угловых точках: $u(0,0)=u(0,\pi )=u(\pi ,0)=u(\pi ,\pi )=0$.

Сравнивая все найденные значения, получаем:

$$u_{\text{наиб}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Наибольшее значение достигается во внутренней точке $\left(\frac{2\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right)$.

1.17 Неявные функции

Пусть задана функция двух переменных $F(x,y)$ в некоторой области $D$, для которой выполнено уравнение:

$$F(x,y)=0\text{\hspace{1em}(1.93)}$$

Если для каждого $x$ существует одно или несколько значений $y$ таких, что пара $(x,y)$ удовлетворяет уравнению (1.93), то говорят, что уравнение (1.93) определяет однозначную или многозначную функцию $y=f(x)$, для которой выполняется тождество:

$$F(x,f(x))=0\text{\hspace{1em}(1.94)}$$

Эллипс как неявная функция

Уравнение эллипса:

$$F(x,y)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0\text{\hspace{1em}(1.95)}$$

Решение уравнения (1.95) задаёт двузначную функцию от $x$ на отрезке $[-a,a]$:

$$y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$$

Невозможность явного выражения

В уравнении $y\sin x+x\cos y=0$ получить явное аналитическое выражение для функции $y(x)$ не удаётся.

Неявная функция — это функция $y=f(x)$, заданная при помощи неразрешённого относительно $y$ уравнения:

$$F(x,y)=0$$

Теорема 17 (Теорема о неявной функции)

Пусть для функции $F(x,y)$ выполнены следующие условия:

1. Функция $F(x,y)$ определена и непрерывна в замкнутом прямоугольнике $D=[x_0-\Delta ,x_0+\Delta ;y_0-{\Delta }^{\prime },y_0+{\Delta }^{\prime }]$.
2. Частные производные $F_x^{\prime }$ и $F_y^{\prime }$ существуют и непрерывны в области $D$.
3. $F(x_0,y_0)=0$.
4. $F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$.

Тогда:

а) В окрестности точки $(x_0,y_0)$ уравнение $F(x,y)=0$ определяет однозначную функцию $y=f(x)$. б) При $x=x_0$ выполнено равенство $f(x_0)=y_0$. в) Функция $f(x)$ непрерывна. г) Функция $f(x)$ имеет непрерывную производную.

О важности условия $F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$

Рассмотрим пример уравнения эллипса $F(x,y)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$.

Частная производная по переменной $y$ равна:

$$F_y^{\prime }=\frac{2}{b^2}y$$

Условие $F_y^{\prime }\ne 0$ выполняется всюду, кроме вершин большой оси эллипса: $A(a,0)$ и $A_1(-a,0)$. В окрестностях этих точек эллипс не задаёт однозначную функцию $y=f(x)$, так как в сколь угодно малых окрестностях этих точек уравнение имеет два решения:

$$y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$$

1.18 Производная неявно заданной функции

Пусть в области $D$ выполнены условия теоремы о неявной функции. Продифференцируем обе части уравнения $F(x,y)=0$ по переменной $x$, считая $y$ функцией от $x$:

$$\frac{d}{dx}F(x,y)=0⟺F_x^{\prime }(x,y)+F_y^{\prime }(x,y)\cdot y_x^{\prime }=0$$

Отсюда производная неявно заданной функции имеет вид:

$$y_x^{\prime }=-\frac{F_x^{\prime }(x,y)}{F_y^{\prime }(x,y)}\text{\hspace{1em}(1.98)}$$

1.20 Векторная функция скалярного аргумента

Поставим в соответствие каждому значению аргумента $t$ вектор $\vec{a}(t)$:

$$\vec{a}(t)=a_x(t)\vec{i}+a_y(t)\vec{j}+a_z(t)\vec{k}\text{\hspace{1em}(1.119)}$$

Годограф вектора $\vec{a}(t)$ — это кривая, которую вычерчивает конец вектора $\vec{a}(t)$ при изменении параметра $t$, при условии, что начало вектора находится в начале координат $(0,0,0)$.

Параметрическое уравнение винтовой линии

Вектор $\vec{a}(t)=4\cos t\cdot \vec{i}+4\sin t\cdot \vec{j}+2t\cdot \vec{k}$ задаёт винтовую линию. Параметрические уравнения её первого витка имеют вид:

$$\{\begin{array}{l}x=4\cos t\\ y=4\sin t\\ z=2t\end{array},0\le t\le 2\pi$$

Предел вектор-функции — это вектор $\vec{a}$ при $t\to t_0$, если:

$$\underset{t\to t_0}{\lim }|\vec{a}(t)-\vec{a}|=0$$

Производная вектор-функции $\vec{a}(t)$ в точке $t$ — это предел:

$${\vec{a}}^{\prime }(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\vec{a}(t+\Delta t)-\vec{a}(t)}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(1.120)}$$

Если вектор задан в координатной форме $\vec{a}(t)=a_x(t)\vec{i}+a_y(t)\vec{j}+a_z(t)\vec{k}$, то его производная равна:

$${\vec{a}}^{\prime }(t)=a_x^{\prime }(t)\vec{i}+a_y^{\prime }(t)\vec{j}+a_z^{\prime }(t)\vec{k}$$

Если годограф задан параметрически:

$$\{\begin{array}{l}x=a_x(t)\\ y=a_y(t)\\ z=a_z(t)\end{array}$$

то касательный вектор к годографу имеет координаты $(a_x^{\prime },a_y^{\prime },a_z^{\prime })$, то есть ${\vec{a}}^{\prime }(t)$ задаёт касательный вектор к годографу.

Вектор скорости

Пусть $\vec{r}(t)$ — вектор перемещения точки. Тогда производная ${\vec{r}}^{\prime }(t)$ задаёт вектор скорости движения точки, направленный по касательной к траектории.

1.21 Касательная прямая и нормальная плоскость к кривой

Пусть кривая представляет собой годограф вектора $\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$. Параметрические уравнения кривой имеют вид:

$$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$$

Пусть $M_0(x_0,y_0,z_0)$ — точка на этой кривой при $t=t_0$, где $x_0=x(t_0)$, $y_0=y(t_0)$, $z_0=z(t_0)$.

Касательный вектор к кривой в точке $M_0$ можно задать через производную годографа ${\vec{r}}^{\prime }(t_0)=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))$. Он является направляющим вектором касательной прямой.

Каноническое уравнение касательной прямой, проходящей через точку $(x_0,y_0,z_0)$, принимает вид:

$$\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}\text{\hspace{1em}(1.121)}$$

Касательная к плоской кривой

Уравнение касательной к плоской кривой $y=f(x)$ является частным случаем уравнения пространственной кривой:

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\text{\hspace{1em}(1.122)}$$

Нормальная плоскость к кривой — это плоскость, перпендикулярная касательной прямой в точке $(x_0,y_0,z_0)$.

Вектор $(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))$ перпендикулярен этой плоскости и служит её вектором нормали. Уравнение нормальной плоскости, проходящей через точку $(x_0,y_0,z_0)$, имеет вид:

$$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0\text{\hspace{1em}(1.123)}$$

---

Предыдущая лекция | Все лекции | Следующая лекция