Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Двойные интегралы и мера Жордана

Нахождение касательной прямой и нормальной плоскости к винтовой линии

Найдём уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к винтовой линии $\vec{r}(t)=4\cos t\cdot \vec{i}+4\sin t\cdot \vec{j}+2t\cdot \vec{k}$ в точке $t_0=\frac{3\pi }{4}$.

Вычислим производные координатных функций:

$$x^{\prime }(t)=-4\sin t⟹x^{\prime }\left(\frac{3\pi }{4}\right)=-4\sin \frac{3\pi }{4}=-4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$$ $$y^{\prime }(t)=4\cos t⟹y^{\prime }\left(\frac{3\pi }{4}\right)=4\cos \frac{3\pi }{4}=4\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2\sqrt{2}$$ $$z^{\prime }(t)=2⟹z^{\prime }\left(\frac{3\pi }{4}\right)=2$$

Найдём координаты точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$ при $t_0=\frac{3\pi }{4}$:

$$M_0=\left(4\cos \frac{3\pi }{4},4\sin \frac{3\pi }{4},2\cdot \frac{3\pi }{4}\right)=\left(-2\sqrt{2},2\sqrt{2},\frac{3\pi }{2}\right)$$

Каноническое уравнение касательной прямой в точке $M_0$:

$$\frac{x+2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}=\frac{y-2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}=\frac{z-\frac{3\pi }{2}}{2}$$

Уравнение нормальной плоскости в точке $M_0$:

$$-2\sqrt{2}(x+2\sqrt{2})-2\sqrt{2}(y-2\sqrt{2})+2\left(z-\frac{3\pi }{2}\right)=0$$

1.22 Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением $F(x,y,z)=0$.

Касательная прямая к поверхности в точке $P_0$ — это прямая, касательная к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку $P_0$.

Теорема 19 (О касательной плоскости)

Пусть поверхность задана уравнением $F(x,y,z)=0$.

Если хотя бы одна из частных производных $F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z^{\prime }$ в точке $P_0(x_0,y_0,z_0)$ не равна нулю, то все касательные прямые к поверхности в точке $P_0$ лежат в одной плоскости.

Касательная плоскость к поверхности — это плоскость, содержащая все касательные прямые к кривым на поверхности, проходящим через данную точку.

Уравнение касательной плоскости

В условиях теоремы 19 уравнение касательной плоскости в точке $(x_0,y_0,z_0)$ имеет вид:

$$\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\cdot (y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\cdot (z-z_0)=0\text{\hspace{1em}(1.124)}$$

Нормаль к поверхности — это прямая, проходящая через точку поверхности перпендикулярно касательной плоскости.

Уравнение нормали в точке $(x_0,y_0,z_0)$ имеет вид:

$$\frac{x-x_0}{\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)}\text{\hspace{1em}(1.125)}$$

Вектор с координатами $\left(\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0),\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\right)$ является направляющим вектором нормали.

Рассмотрим частные случаи задания поверхности:

1. Явное задание поверхности:

$$z=z(x,y)⟺z-z(x,y)=0\text{\hspace{1em}(1.126)}$$

Координаты нормального вектора имеют вид:

$$\left(-\frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0),-\frac{\partial z}{\partial y}(x_0,y_0),1\right)$$

Вводя обозначения $p=\frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)$ и $q=\frac{\partial z}{\partial y}(x_0,y_0)$, получаем единичный вектор нормали $\frac{(-p,-q,1)}{\pm \sqrt{1+p^2+q^2}}$. Компоненты единичного вектора задают направляющие косинусы нормали с осями координат:

$$\cos \alpha =\frac{-p}{\pm \sqrt{1+p^2+q^2}},\cos \beta =\frac{-q}{\pm \sqrt{1+p^2+q^2}},\cos \gamma =\frac{1}{\pm \sqrt{1+p^2+q^2}}\text{\hspace{1em}(1.127)}$$

2. Параметрическое задание поверхности:

$$x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)\text{\hspace{1em}(1.128)}$$

Направляющие косинусы нормали к поверхности определяются формулами:

$$\cos \alpha =\frac{A}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2}},\cos \beta =\frac{B}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2}},\cos \gamma =\frac{C}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2}}\text{\hspace{1em}(1.129)}$$

где функциональные определители $A,B,C$ равны:

$$A=\left|\begin{array}{cc}{y}_u^{\prime }& z_u^{\prime }\\ y_v^{\prime }& z_v^{\prime }\end{array}\right|,B=\left|\begin{array}{cc}{z}_u^{\prime }& x_u^{\prime }\\ z_v^{\prime }& x_v^{\prime }\end{array}\right|,C=\left|\begin{array}{cc}{x}_u^{\prime }& y_u^{\prime }\\ x_v^{\prime }& y_v^{\prime }\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(1.130)}$$

Касательная плоскость и нормаль к сфере

Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $x^2+y^2+z^2=14$ в точке $P(1,2,3)$.

Вычислим частные производные в точке $P$:

$${\frac{\partial F}{\partial x}|}_P=2x{|}_P=2,{\frac{\partial F}{\partial y}|}_P=2y{|}_P=4,{\frac{\partial F}{\partial z}|}_P=2z{|}_P=6$$

Уравнение касательной плоскости:

$$2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0⟺x+2y+3z-14=0$$

Уравнение нормали:

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{6}⟺x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$$

2.1 Мера Жордана

Двойной интеграл определяется по аналогии с обычным определённым интегралом. При введении определённого интеграла промежуток интегрирования $[a,b]$ разбивается на элементарные отрезки. Для функций нескольких переменных область $\Omega$ разбивается на элементарные области.

Область — это открытое связное множество.

Определение площади не только для областей

Понятие площади вводится не только для областей, но и для замкнутых или несвязных множеств.

Разбиваем плоскость $XOY$ сеткой координатных линий с шагом $h$. Это даёт покрытие множества $\Omega$ сеткой равных квадратов со стороной $h$ и площадью $h^2$.

Обозначим:

• ${\Omega }_h$ — множество квадратов, целиком принадлежащих $\Omega$.
• $l=\partial \Omega$ — граница области $\Omega$.
• $l_h$ — множество квадратов, имеющих общие точки с границей $l$.
• ${\overline{\Omega }}_h={\Omega }_h\cup l_h$ — объединение квадратов, содержащих хотя бы одну точку из $\Omega$.

Площадь элементарного квадрата равна $h^2$. Обозначим:

• $S_h$ — сумма площадей квадратов множества ${\Omega }_h$.
• ${\overline{S}}_h$ — сумма площадей квадратов множества ${\overline{\Omega }}_h$.

Внутренняя мера множества $\Omega$ — это точная верхняя граница $\underline{S}$ множества чисел $S_h$.

Внешняя мера множества $\Omega$ — это точная нижняя граница $\overline{S}$ множества чисел ${\overline{S}}_h$.

Теорема 1 (Предел сумм площадей)

При стремлении стороны квадрата $h\to 0$ выполнены предельные переходы:

$$S_h\to \underline{S},{\overline{S}}_h\to \overline{S}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

Квадрируемое множество — это множество $\Omega$, для которого внутренняя и внешняя меры совпадают:

$$\underline{S}=\overline{S}=S\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

Мера Жордана (площадь множества $\Omega$) — это число $S=m(\Omega )$, равное общей внутренней и внешней мере квадрируемого множества $\Omega$.

Теорема 2 (Критерий квадрируемости множества)

Для квадрируемости множества $\Omega$ необходимо и достаточно, чтобы площадь его границы $l$ была равна нулю, то есть сумма площадей квадратов $l_h$, пересекающих границу $l$, стремилась к нулю при $h\to 0$:

$$S(l_h)\underset{h\to 0}{\to }0\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

Аддитивность меры Жордана

Мера Жордана является аддитивной функцией множества. Если квадрируемые множества ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ не пересекаются (${\Omega }_1\cap {\Omega }_2=\varnothing$), то их объединение ${\Omega }_1\cup {\Omega }_2$ также квадрируемо и выполнено равенство:

$$m({\Omega }_1\cup {\Omega }_2)=m({\Omega }_1)+m({\Omega }_2)\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

---

Предыдущая лекция | Все лекции