Экстремумы функции нескольких переменных

1.15 Экстремумы функции нескольких переменных

Пусть $P_0(x_1^0,\dots ,x_n^0)$ — внутренняя точка области определения функции $f(x_1,\dots ,x_n)$.

Экстремум функции — это максимум или минимум функции в точке $P_0(x_1^0,\dots ,x_n^0)$, если существует окрестность точки $P_0$, для всех точек $P(x_1,\dots ,x_n)$ которой выполняется неравенство $f(P)\le f(P_0)$ (для максимума) или $f(P)\ge f(P_0)$ (для минимума).

Теорема 13 (Необходимое условие экстремума)

Пусть дифференцируемая функция $f(P)$ достигает экстремума в точке $P_0(x_1^0,\dots ,x_n^0)$.

В этой точке все её частные производные равны нулю:

$$\{\begin{array}{l}{f}_{x_1}^{\prime }(x_1^0,\dots ,x_n^0)=0\\ \dots \\ f_{x_n}^{\prime }(x_1^0,\dots ,x_n^0)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1.71)}$$

Стационарные точки — это точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции $u=f(P)$.

Замечание об экстремумах

К точкам, подозрительным на экстремумы, кроме стационарных относятся также точки, где частные производные не существуют либо равны $\infty$.

Доказательство

Зафиксируем все переменные, кроме одной: $x_2=x_2^0,\dots ,x_n=x_n^0$. Мы получили функцию одной переменной: $u=f(x_1,x_2^0,\dots ,x_n^0)$.

По условию теоремы функция достигает экстремума в точке $P_0$, следовательно, по теореме Ферма для функции одной переменной в точке $x_1=x_1^0$ производная равна нулю:

$$f_{x_1}^{\prime }(x_1^0,x_2^0,\dots ,x_n^0)=0\text{\hspace{1em}(1.72)}$$

Аналогично доказывается для остальных производных.

1.16 Достаточные условия экстремума функций двух переменных

Пусть $(x_0,y_0)$ — стационарная точка функции $f(x,y)$. Пусть функция $f(x,y)$ определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности точки $(x_0,y_0)$, причем в самой стационарной точке выполнены условия:

$$\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x_0,y_0)=0\\ f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1.73)}$$

Рассмотрим полное приращение $\Delta =f(x,y)-f(x_0,y_0)$. Первый член разложения по формуле Тейлора будет равен нулю (так как точка стационарная). Запишем разложение, взяв первые два члена:

$$\Delta =\frac{1}{2!}\left(f_{xx}^{\prime \prime }(x_0+\theta \Delta x,y_0+\theta \Delta y)\cdot \Delta x^2+2f_{xy}^{\prime \prime }(x_0+\theta \Delta x,y_0+\theta \Delta y)\cdot \Delta x\Delta y+f_{yy}^{\prime \prime }(x_0+\theta \Delta x,y_0+\theta \Delta y)\cdot \Delta y^2\right)$$

где $0<\theta <1$, $\Delta x=x-x_0$, $\Delta y=y-y_0$.

Введем обозначения для значений производных в точке $(x_0,y_0)$:

$$a_{11}=f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0),a_{12}=f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0),a_{22}=f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\text{\hspace{1em}(1.74)}$$

В сдвинутой точке $(x_0+\theta \Delta x,y_0+\theta \Delta y)$ значения производных представимы в виде:

$$f_{xx}^{\prime \prime }=a_{11}+{\alpha }_1,f_{xy}^{\prime \prime }=a_{12}+{\alpha }_2,f_{yy}^{\prime \prime }=a_{22}+{\alpha }_3$$

где ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\to 0$ при $\Delta x,\Delta y\to 0$.

Тогда приращение принимает вид:

$$\Delta =\frac{1}{2}\left(a_{11}\Delta x^2+2a_{12}\Delta x\Delta y+a_{22}\Delta y^2+{\alpha }_1\Delta x^2+2{\alpha }_2\Delta x\Delta y+{\alpha }_3\Delta y^2\right)\text{\hspace{1em}(1.75)}$$

Поведение разности $\Delta$ зависит от знака выражения $a_{11}{a}_{22}-a_{12}^2$.

Введем полярные координаты с началом в $(x_0,y_0)$:

$$\{\begin{array}{l}\Delta x=\rho \cos \phi \\ \Delta y=\rho \sin \phi \end{array},\rho =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\text{\hspace{1em}(1.76)}$$

Выражение для $\Delta$ в полярных координатах:

$$\Delta =\frac{{\rho }^2}{2}\left((a_{11}{\cos }^2\phi +2a_{12}\cos \phi \sin \phi +a_{22}{\sin }^2\phi )+({\alpha }_{11}(\rho ){\cos }^2\phi +2{\alpha }_{12}(\rho )\cos \phi \sin \phi +{\alpha }_{22}(\rho ){\sin }^2\phi )\right)\text{\hspace{1em}(1.77)}$$

Рассмотрим случай 1: $a_{11}{a}_{22}-a_{12}^2>0$ и $a_{11}\ne 0$. Тогда первый трехчлен в скобках можно преобразовать:

$$\frac{1}{a_{11}}\left((a_{11}\cos \phi +a_{12}\sin \phi {)}^2+(a_{11}{a}_{22}-a_{12}^2){\sin }^2\phi \right)>0\text{\hspace{1em}(1.78)}$$

Это выражение при всех $\phi$ сохраняет знак коэффициента $a_{11}$. По второй теореме Вейерштрасса на замкнутом промежутке $[0,2\pi ]$ оно достигает своего наименьшего значения $m$:

$$\left|a_{11}{\cos }^2\phi +2a_{12}\cos \phi \sin \phi +a_{22}{\sin }^2\phi \right|\ge m>0\text{\hspace{1em}(1.79)}$$

Следовательно, при достаточно малых $\rho$ знак приращения $\Delta$ определяется знаком $a_{11}$.

Теорема 14 (Достаточные условия экстремума)

Пусть в стационарной точке $(x_0,y_0)$ и ее окрестности существуют непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим $A=f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$, $B=f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$, $C=f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$ и составим дискриминант ${\Delta }_2=AC-B^2$.

1. Если ${\Delta }_2>0$, то в точке $(x_0,y_0)$ есть экстремум: минимум при $A>0$ и максимум при $A<0$.
2. Если ${\Delta }_2<0$, то в точке $(x_0,y_0)$ экстремума нет.
3. Если ${\Delta }_2=0$, требуется дополнительное исследование.

---

Предыдущая лекция | Все лекции | Следующая лекция