Производные сложных функций и производные высших порядков

1.6 Полный дифференциал

Дифференцируемая функция в точке — это функция $u=f(x,y,z)$, если её полное приращение в точке $(x_0,y_0,z_0)$ представимо в виде:

$$\Delta u=f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta y+f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta z+o(\rho )\text{\hspace{1em}(1.15)}$$

где $\rho =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$.

Полный дифференциал функции — это главная линейная часть полного приращения функции. Выражение для полного дифференциала имеет вид:

$$df=f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta y+f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta z\text{\hspace{1em}(1.16)}$$

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал — это приращение касательной.

[!theorem] Теорема 9 (Уравнение касательной плоскости)

Поверхность задана уравнением $z=f(x,y)$ и имеет касательную плоскость в точке $M_0(x_0,y_0,z_0)$.

Если функция $z=f(x,y)$ дифференцируема в точке $(x_0,y_0)$, то уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0,y_0,z_0)$ имеет вид:

$$Z-z_0=f_x^{\prime }(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)\text{\hspace{1em}(1.17)}$$

1.7 Производные от сложных функций

Пусть функция $u=f(x,y,z)$ определена в некоторой открытой области $D$, где переменные $x,y,z$ являются функциями от переменной $t$:

$$x=\phi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)$$

где $\phi (t),\psi (t),\chi (t)$ — дифференцируемые функции.

Если в области $D$ существуют непрерывные частные производные $u_x^{\prime },u_y^{\prime },u_z^{\prime }$, то полное приращение функции может быть представлено в виде:

$$\Delta u=u_x^{\prime }\cdot \Delta x+u_y^{\prime }\cdot \Delta y+u_z^{\prime }\cdot \Delta z+\alpha \cdot \Delta x+\beta \cdot \Delta y+\gamma \cdot \Delta z\text{\hspace{1em}(1.18)}$$

где $\alpha ,\beta ,\gamma \to 0$ при $\Delta x,\Delta y,\Delta z\to 0$.

Разделив обе части уравнения (1.18) на $\Delta t$ и устремив $\Delta t\to 0$, получаем производную сложной функции:

$$\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}+\frac{\partial u}{\partial z}\cdot \frac{dz}{dt}\text{\hspace{1em}(1.19)}$$

Производная для $n$ переменных

Формулу (1.19) можно распространить на случай функции $n$ переменных:

$$\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x_1}\cdot \frac{d{x}_1}{dt}+\frac{\partial u}{\partial x_2}\cdot \frac{d{x}_2}{dt}+\cdots +\frac{\partial u}{\partial x_n}\cdot \frac{d{x}_n}{dt}\text{\hspace{1em}(1.20)}$$

Если $x=\phi (t,s),y=\psi (t,s),z=\chi (t,s)$, то вместо производных по $t$ возникают частные производные:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial t}\text{\hspace{1em}(1.21)}$$

Если функция $u$ явно зависит от $t$ ($u=u(t,x,y,z)$), то полная производная вычисляется по формуле:

$$\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}+\frac{\partial u}{\partial z}\cdot \frac{dz}{dt}\text{\hspace{1em}(1.22)}$$

1.8 Производная степени с переменным основанием и показателем

Для нахождения производной функции $u=(\phi (t){)}^{\psi (t)}$ вводятся новые переменные:

$$x=\phi (t),y=\psi (t)$$

Тогда функция принимает вид $u=x^y$. Применяя формулу производной сложной функции, получаем:

$$\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}=y\cdot x^{y-1}\cdot \frac{dx}{dt}+x^y\cdot \ln x\cdot \frac{dy}{dt}\text{\hspace{1em}(1.23)}$$

Пример нахождения производной

Найдем производную функции $u=t^{\sin t}$. Введем новые переменные $x=t,y=\sin t$.

Тогда производная равна:

$$\frac{du}{dt}=t^{\sin t}\cdot \left(\sin t\cdot \frac{1}{t}+\ln t\cdot \cos t\right)\text{\hspace{1em}(1.24)}$$

1.9 Дифференцирование функционального определителя

Функциональный определитель (якобиан) — это определитель следующего вида:

$$u=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=U(a_{11},a_{12},\dots ,a_{nn})\text{\hspace{1em}(1.25)}$$

где каждый элемент $a_{ik}=a_{ik}(t)$ ($1\le i\le n,1\le k\le n$) является дифференцируемой функцией от переменной $t$.

Для нахождения производной $\frac{du}{dt}$ используется разложение определителя по $k$-му столбцу:

$$u=a_{1k}\cdot A_{1k}+a_{2k}\cdot A_{2k}+\cdots +a_{nk}\cdot A_{nk}\text{\hspace{1em}(1.26)}$$

где $A_{ik}$ — алгебраическое дополнение элемента $a_{ik}$.

Частная производная определителя по элементу $a_{ik}$ равна его алгебраическому дополнению:

$$\frac{\partial u}{\partial a_{ik}}=A_{ik}\text{\hspace{1em}(1.27)}$$

Тогда производная определителя по параметру $t$ выражается в виде суммы определителей, в которых поочередно дифференцируются элементы каждого столбца:

$$\frac{du}{dt}=\sum _{k=1}^n\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \dots & \frac{d{a}_{1k}}{dt}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & \frac{d{a}_{2k}}{dt}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \dots & \frac{d{a}_{nk}}{dt}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(1.28)}$$

Дифференцирование по строкам

Аналогично формуле (1.28) можно продифференцировать определитель по всем строкам:

$$\frac{du}{dt}=\sum _{i=1}^n\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{d{a}_{i1}}{dt}& \frac{d{a}_{i2}}{dt}& \dots & \frac{d{a}_{in}}{dt}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(1.29)}$$

1.10 Производные высших порядков

Производная второго порядка — это производная от первой частной производной функции. Для функции двух переменных $u=f(x,y)$ вводятся следующие обозначения:

$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=(u_x^{\prime }{)}_x^{\prime }=u_{xx}^{\prime \prime }$$ $$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=(u_y^{\prime }{)}_x^{\prime }=u_{yx}^{\prime \prime }$$ $$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}=(u_x^{\prime }{)}_y^{\prime }=u_{xy}^{\prime \prime }$$

Теорема 10 (Теорема о смешанных производных)

Пусть функция $f(x,y)$ определена в некоторой открытой области $D$ и в этой области существуют производные $f_x^{\prime }$, $f_y^{\prime }$, $f_{xy}^{\prime \prime }$, $f_{yx}^{\prime \prime }$.

Если производные $f_{xy}^{\prime \prime }$ и $f_{yx}^{\prime \prime }$ непрерывны в некоторой точке $(x_0,y_0)\in D$, то в этой точке смешанные производные равны:

$$f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=f_{yx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\text{\hspace{1em}(1.30)}$$

---

Предыдущая лекция | Все лекции | Следующая лекция