Частные производные и дифференциалы

1.4 Частные производные

Частная производная — это предел отношения приращения функции по одной из переменных к приращению этой переменной, когда последнее стремится к нулю, при фиксированных значениях остальных переменных.

Для функции $u=f(x,y,z)$, определенной в некоторой области $D$, выберем точку $P_0(x_0,y_0,z_0)$. Если переменные $y$ и $z$ остаются постоянными ($y=y_0$, $z=z_0$), то функция $u$ становится функцией одной переменной $x$. Её частная производная по $x$ определяется как:

$$f_x^{\prime }\equiv \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0,z_0)-f(x_0,y_0,z_0)}{\Delta x}\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

Обозначение производной

Символ $\frac{\partial f}{\partial x}$ является единым оператором. Следует отличать его от полной производной, которая представляет собой отношение дифференциалов $df$ и $dx$.

Геометрический смысл частной производной

Тангенс угла наклона касательной — это геометрический смысл частной производной. В трёхмерном пространстве функция двух переменных $z=f(x,y)$ задаёт некоторую поверхность. На этой поверхности выберем точку $P_0$ и проведём через неё плоскость, параллельную координатной плоскости $ZOY$ ($x=x_0$). Пересечение поверхности и этой плоскости даёт кривую. Тангенс угла наклона касательной к этой кривой в точке $P_0$ равен частной производной функции по $y$ в данной точке:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$$

Если провести плоскость, параллельную $ZOX$ ($y=y_0$), то аналогичное построение покажет, что тангенс угла наклона касательной будет равен частной производной $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$.

1.5 Полное приращение и полный дифференциал

Полное приращение функции — это разность значений функции во взаимно смещённых точках. Для функции $u=f(x,y,z)$ в области $D$ полное приращение в точке $(x_0,y_0,z_0)$ определяется формулой:

$$\Delta u=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)-f(x_0,y_0,z_0)\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

Теорема 7 (О достаточном условии дифференцируемости)

Пусть частные производные $f_x^{\prime }$, $f_y^{\prime }$, $f_z^{\prime }$ существуют в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0,z_0)$ и непрерывны в самой точке $(x_0,y_0,z_0)$.

Тогда полное приращение функции $\Delta u$ представимо в виде:

$$\Delta u=f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta y+f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta z+\alpha \cdot \Delta x+\beta \cdot \Delta y+\gamma \cdot \Delta z\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

где $\alpha ,\beta ,\gamma$ — бесконечно малые величины при $\Delta x,\Delta y,\Delta z\to 0$.

Доказательство

Полное приращение представимо в виде суммы разностей по отдельным переменным:

$$\Delta u=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)-f(x_0,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)]+[f(x_0,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)-f(x_0,y_0,z_0+\Delta z)]+[f(x_0,y_0,z_0+\Delta z)-f(x_0,y_0,z_0)]$$

Применим теорему Лагранжа о конечном приращении для функции одной переменной к каждому слагаемому последовательно:

1. Для первой разности (изменение по $x$):

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)-f(x_0,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)=f_x^{\prime }(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)\cdot \Delta x$$

где $0<{\theta }_1<1$. Так как $f_x^{\prime }$ непрерывна в точке $(x_0,y_0,z_0)$, значение производной в смещенной точке стремится к её значению в исходной точке:

$$f_x^{\prime }(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)=f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)+\alpha$$

где $\alpha \to 0$ при стремлении к нулю приращений переменных.

2. Для второй разности (изменение по $y$):

$$f(x_0,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)-f(x_0,y_0,z_0+\Delta z)=f_y^{\prime }(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y,z_0+\Delta z)\cdot \Delta y$$

где $0<{\theta }_2<1$. В силу непрерывности $f_y^{\prime }$:

$$f_y^{\prime }(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y,z_0+\Delta z)=f_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)+\beta$$

где $\beta \to 0$ при стремлении к нулю приращений переменных.

3. Для третьей разности (изменение по $z$):

$$f(x_0,y_0,z_0+\Delta z)-f(x_0,y_0,z_0)=f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0+{\theta }_3\Delta z)\cdot \Delta z$$

где $0<{\theta }_3<1$. В силу непрерывности $f_z^{\prime }$:

$$f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0+{\theta }_3\Delta z)=f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)+\gamma$$

где $\gamma \to 0$ при стремлении к нулю приращений переменных.

Подставив полученные соотношения в исходное выражение, получаем:

$$\Delta u=f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta y+f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta z+\alpha \cdot \Delta x+\beta \cdot \Delta y+\gamma \cdot \Delta z$$

Теорема доказана.

Следствие из теоремы 7 (О непрерывности)

Если в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0,z_0)$ существуют частные производные и они непрерывны в самой точке $(x_0,y_0,z_0)$, то функция $f(x,y,z)$ непрерывна в этой точке.

Доказательство

Обозначим $\rho =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$. Преобразуем сумму бесконечно малых членов:

$$\alpha \cdot \Delta x+\beta \cdot \Delta y+\gamma \cdot \Delta z=\left(\alpha \frac{\Delta x}{\rho }+\beta \frac{\Delta y}{\rho }+\gamma \frac{\Delta z}{\rho }\right)\cdot \rho \text{\hspace{1em}(1.11)}$$

Так как отношение приращения координаты к расстоянию ограничено по модулю единицей:

$$\frac{|\Delta x|}{\rho }\le 1,\frac{|\Delta y|}{\rho }\le 1,\frac{|\Delta z|}{\rho }\le 1$$

а величины $\alpha ,\beta ,\gamma$ являются бесконечно малыми при $\rho \to 0$, то выражение в скобках также стремится к нулю:

$$\left(\alpha \frac{\Delta x}{\rho }+\beta \frac{\Delta y}{\rho }+\gamma \frac{\Delta z}{\rho }\right)\stackrel{\rho \to 0}{\to }0$$

Значит, вся добавочная часть представляет собой бесконечно малую величину более высокого порядка относительно $\rho$:

$$\alpha \cdot \Delta x+\beta \cdot \Delta y+\gamma \cdot \Delta z=o(\rho )$$

Тогда полное приращение функции принимает вид:

$$\Delta u=f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta y+f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\cdot \Delta z+o(\rho )$$

Откуда при $\rho \to 0$ получаем:

$$\Delta u\stackrel{\rho \to 0}{\to }0$$

Это означает непрерывность функции в точке $(x_0,y_0,z_0)$.

Дифференцируемая функция в точке — это функция $u=f(x,y,z)$, полное приращение которой в точке $(x_0,y_0,z_0)$ представимо в виде:

$$\Delta u=A\cdot \Delta x+B\cdot \Delta y+C\cdot \Delta z+o(\rho )\text{\hspace{1em}(1.12)}$$

где $A,B,C=\text{const}$, а $\rho =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$.

Theorem 8 (Связь дифференцируемости и частных производных)

Пусть функция $u=f(x,y,z)$ дифференцируема в точке $(x_0,y_0,z_0)$, то есть её приращение представимо в виде:

$$\Delta u=A\cdot \Delta x+B\cdot \Delta y+C\cdot \Delta z+o(\rho )\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

Тогда в этой точке существуют частные производные функции, причем они равны соответствующим коэффициентам:

$$A=f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0),B=f_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0),C=f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\text{\hspace{1em}(1.14)}$$

Доказательство

Положим $\Delta y=\Delta z=0$. Тогда расстояние $\rho =|\Delta x|$. Полное приращение превращается в частное приращение по $x$:

$${\Delta }_{x}u=f(x_0+\Delta x,y_0,z_0)-f(x_0,y_0,z_0)$$

Из определения частной производной:

$$\frac{f(x_0+\Delta x,y_0,z_0)-f(x_0,y_0,z_0)}{\Delta x}=f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)+\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}$$

С другой стороны, подставляя $\Delta y=\Delta z=0$ в равенство (1.13), получаем:

$$\frac{{\Delta }_{x}u}{\Delta x}=A+B\cdot \frac{0}{\Delta x}+C\cdot \frac{0}{\Delta x}+\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}=A+\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}$$

Приравнивая оба выражения при предельном переходе $\Delta x\to 0$, находим:

$$f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)=A$$

Аналогично, полагая приращения других пар переменных равными нулю, доказываем равенства для $B$ и $C$.

---

Предыдущая лекция | Все лекции | Следующая лекция