Функции нескольких переменных

1.1 Основные понятия

Евклидово пространство ${\mathbb{R}}^n$ — это множество всех упорядоченных наборов из $n$ вещественных чисел $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$. Точка этого пространства обозначается как $P(x_1,x_2,\dots ,x_n)$.

Расстояние в ${\mathbb{R}}^n$ — это величина, определяемая формулой:

$$\rho (P,P^{\prime })=\sqrt{(x_1-x_1^{\prime }{)}^2+(x_2-x_2^{\prime }{)}^2+\cdots +(x_n-x_n^{\prime }{)}^2}$$

$ϵ$-окрестность точки $P$ — это множество точек $P_1$, для которых:

$$\rho (P_1,P)<ϵ$$

Внутренняя точка множества $M$ — это точка $P$, принадлежащая множеству $M$ вместе с некоторой своей окрестностью.

Точка сгущения множества $M$ — это точка $P$, в любой окрестности которой содержится хотя бы одна точка $P_1\in M$, отличная от $P$.

Граничная точка множества $M$ — это точка $P$, в любой окрестности которой есть как точки из $M$, так и точки не из $M$.

Замкнутое множество — это множество, содержащее все свои граничные точки.

Непрерывная кривая, соединяющая $P^{\prime }$ и $P^{\prime \prime }$ — это множество точек $({\varphi }_1(t),\dots ,{\varphi }_n(t))$ при $t\in [\alpha ,\beta ]$, где ${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_n$ — это непрерывные функции.

Ограниченное множество — это множество, которое можно поместить в шар.

Функция нескольких переменных — это отображение $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$, задаваемое в виде:

$$y=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$$

Предел функции $f(x_1,\dots ,x_n)$ в точке $P_2$ — это число $A$, если:

$$\forall ϵ>0\exists \delta >0:\rho (P_1,P_2)<\delta ⟹|f(x_1,\dots ,x_n)-A|<ϵ$$

Бесконечный предел — это свойство функции $f(x_1,\dots ,x_n)\to \infty$ при $P_1\to P_2$, если:

$$\forall E>0\exists \delta >0:\rho (P_1,P_2)<\delta ⟹|f(x_1,\dots ,x_n)|>E$$

Одновременное и последовательное стремление

Стремление по расстоянию эквивалентно одновременному стремлению по координатам:

$$P_1\to P_2⟺\{\begin{array}{l}{x}_1\to a_1\\ \dots \\ x_n\to a_n\end{array}$$

Пределы можно рассматривать не только одновременно, но и последовательно.

Повторные пределы — это пределы, вычисленные при последовательном переходе к пределу по отдельным переменным. Если от порядка перехода меняется значение предела, то двойной предел не существует.

Несуществование двойного предела

Повторные пределы функции $f(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}$ при $P\to (0,0)$:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+x^2}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x)=1$$ $$\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{-y+y^2}{y}=\underset{y\to 0}{\lim }(-1+y)=-1$$

Так как повторные пределы не равны, двойной предел функции $f(x,y)$ при $P\to (0,0)$ не существует.

Теорема 1 (Связь двойного и повторных пределов)

Пусть для $f(x,y)$ существует двойной предел:

$$A=\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ y\to b\end{array}}{\lim }f(x,y)$$

Если для каждого $y$ существует конечный предел ${\lim }_{x\to a}f(x,y)$, тогда существует повторный предел ${\lim }_{y\to b}{\lim }_{x\to a}f(x,y)$, причём:

$$\underset{y\to b}{\lim }\underset{x\to a}{\lim }f(x,y)=\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ y\to b\end{array}}{\lim }f(x,y)=A$$

1.2 Непрерывные функции

Непрерывность в точке — это свойство функции $f(x_1,\dots ,x_n)$, определенной на множестве $M$, в точке сгущения $P^{\prime }\in M$, при котором:

$$\underset{P\to P^{\prime }}{\lim }f(x_1,\dots ,x_n)=f(x_1^{\prime },\dots ,x_n^{\prime })$$

Непрерывность по совокупности переменных

Непрерывность по совокупности переменных влечет непрерывность по каждой отдельной переменной и по любому набору переменных.

Непрерывность на множестве — это свойство функции $f(x_1,\dots ,x_n)$ быть непрерывной во всех точках сгущения множества $M$.

Теорема 2 (Первая теорема Больцано-Коши)

Пусть функция $f(x,y)$ определена и непрерывна в некоторой связной области $D$.

Если в двух точках этой области функция принимает значения разных знаков, то в области существует хотя бы одна точка $(x_0,y_0)$, в которой:

$$f(x_0,y_0)=0$$

Теорема 3 (Вторая теорема Больцано-Коши)

Пусть функция $f(x,y)$ определена и непрерывна в связной области $D$, $f(x_1,y_1)=A$, $f(x_2,y_2)=B$ и $A\ne B$.

Для любого $C\in [A;B]$ найдётся точка $(x_3,y_3)\in D$, такая что:

$$f(x_3,y_3)=C$$

Лемма Больцано-Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Теорема 4 (Первая теорема Вейерштрасса)

Пусть функция $f$ определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области.

Функция $f$ ограничена в этой области.

Теорема 5 (Вторая теорема Вейерштрасса)

Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений.

1.3 Равномерная непрерывность

Непрерывность функции в точке — это условие, при котором функция $f(x,y)$ непрерывна в точке $(x_0,y_0)\in M$, если:

$$\forall ϵ>0\exists \delta >0:\{\begin{array}{l}|x-x_0|<\delta \\ |y-y_0|<\delta \end{array}⟹|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<ϵ$$

Равномерная непрерывность — это свойство функции, при котором для любого $ϵ>0$ найдётся такое общее $\delta >0$, что для любых точек $P_1,P_2\in D$ из условия $\rho (P_1,P_2)<\delta$ следует:

$$|f(P_1)-f(P_2)|<ϵ$$

Теорема 6 (Теорема Кантора)

Пусть функция $f(x,y)$ непрерывна в ограниченной замкнутой области $D$.

Функция $f(x,y)$ равномерно непрерывна на $D$.

Доказательства теорем

Большинство доказательств аналогичны курсу первого семестра.

---

Все лекции | Следующая лекция