Полиномы Чебышева и разложения по ним

Главное про многочлены Чебышёва первого и второго рода

Многочлены Чебышёва представляют собой классические системы ортогональных многочленов, заданных на отрезке $[-1,1]$.

1. Многочлены Чебышёва первого рода $T_n(x)$

• Определение и явный вид

  Многочлены первого рода $T_n(x)$ степени $n\ge 0$ задаются на отрезке $x\in [-1,1]$ через тригонометрическое соотношение:

  $T_n(x)=\cos (n\arccos x)$

  При замене переменной $x=\cos \theta$, где $\theta \in [0,\pi ]$, определение принимает вид:

  $T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )$

  Первые несколько многочленов:

  • $T_0(x)=1$

  • $T_1(x)=x$

  • $T_2(x)=2x^2-1$

  • $T_3(x)=4x^3-3x$

  • $T_4(x)=8x^4-8x^2+1$

• Рекуррентное соотношение

  Для любого $n\ge 1$ справедливо соотношение:

  $T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x)$

• Доказательство рекурренты

  Используем стандартное тригонометрическое тождество для суммы косинусов:

  $\cos ((n+1)\theta )+\cos ((n-1)\theta )=2\cos \theta \cos (n\theta )$

  Сделаем обратную замену $\theta =\arccos x$. Учитывая, что $\cos \theta =x$, а $\cos (k\theta )=T_k(x)$, получаем:

  $T_{n+1}(x)+T_{n-1}(x)=2x{T}_n(x)$

  Перенося $T_{n-1}(x)$ в правую часть, получаем требуемую формулу.

• Ортогональность

  Система многочленов $\{T_n(x)\}$ ортогональна на отрезке $[-1,1]$ с весом $p(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$:

  ${\int }_{-1}^1{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\{\begin{array}{ll}0,& n\ne m\\ \frac{\pi }{2},& n=m\ne 0\\ \pi ,& n=m=0\end{array}$

• Доказательство ортогональности

  Выполним замену переменной $x=\cos \theta$, $dx=-\sin \theta d\theta$:

  ${\int }_{-1}^1{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}={\int }_0^{\pi }\cos (n\theta )\cos (m\theta )d\theta$

  Применим формулу произведения косинусов:

  ${\int }_0^{\pi }\cos (n\theta )\cos (m\theta )d\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }(\cos ((n+m)\theta )+\cos ((n-m)\theta ))d\theta$

  • Если $n\ne m$:

    $\frac{1}{2}{\left[\frac{\sin ((n+m)\theta )}{n+m}+\frac{\sin ((n-m)\theta )}{n-m}\right]}_0^{\pi }=0$

  • Если $n=m\ne 0$:

    $\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }(1+\cos (2n\theta ))d\theta =\frac{1}{2}{\left[\theta +\frac{\sin (2n\theta )}{2n}\right]}_0^{\pi }=\frac{\pi }{2}$

  • Если $n=m=0$:

    ${\int }_0^{\pi }1d\theta =\pi$

---

2. Многочлены Чебышёва второго рода $U_n(x)$

• Определение и явный вид

  Многочлены второго рода $U_n(x)$ степени $n\ge 0$ определяются на интервале $x\in ⟨-1,1⟩$ соотношением:

  $U_n(x)=\frac{\sin ((n+1)\arccos x)}{\sqrt{1-x^2}}$

  При замене $x=\cos \theta$ выражение сводится к отношению:

  $U_n(\cos \theta )=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }$

  Первые несколько многочленов:

  • $U_0(x)=1$

  • $U_1(x)=2x$

  • $U_2(x)=4x^2-1$

  • $U_3(x)=8x^3-4x$

• Рекуррентное соотношение

  Многочлены второго рода удовлетворяют такому же рекуррентному соотношению, что и многочлены первого рода ($n\ge 1$):

  $U_{n+1}(x)=2x{U}_n(x)-U_{n-1}(x)$

• Доказательство рекурренты

  Запишем тригонометрическое тождество для суммы синусов:

  $\sin ((n+2)\theta )+\sin (n\theta )=2\cos \theta \sin ((n+1)\theta )$

  Разделим обе части равенства на $\sin \theta$ (при $\theta \in ⟨0,\pi ⟩$):

  $\frac{\sin ((n+2)\theta )}{\sin \theta }+\frac{\sin (n\theta )}{\sin \theta }=2\cos \theta \frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }$

  Учитывая, что $x=\cos \theta$ и $U_k(x)=\frac{\sin ((k+1)\theta )}{\sin \theta }$, получаем:

  $U_{n+1}(x)+U_{n-1}(x)=2x{U}_n(x)$

  Откуда напрямую следует искомая формула.

• Ортогональность

  Система многочленов $\{U_n(x)\}$ ортогональна на отрезке $[-1,1]$ с весом $p(x)=\sqrt{1-x^2}$:

  ${\int }_{-1}^1{U}_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx=\{\begin{array}{ll}0,& n\ne m\\ \frac{\pi }{2},& n=m\end{array}$

• Доказательство ортогональности

  Сделаем замену $x=\cos \theta$, $dx=-\sin \theta d\theta$. Тогда весовая функция примет вид $\sqrt{1-x^2}=\sin \theta$:

  ${\int }_{-1}^1{U}_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx={\int }_0^{\pi }\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }\frac{\sin ((m+1)\theta )}{\sin \theta }\sin \theta (\sin \theta d\theta )$

  Синусы в знаменателях и числителях сокращаются:

  ${\int }_0^{\pi }\sin ((n+1)\theta )\sin ((m+1)\theta )d\theta$

  Используем формулу произведения синусов:

  $\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }(\cos ((n-m)\theta )-\cos ((n+m+2)\theta ))d\theta$

  • Если $n\ne m$: интегралы от обоих косинусов на промежутке $[0,\pi ]$ дадут $0$.

  • Если $n=m$: первый косинус превращается в $1$, а интеграл от второго равен $0$:

    $\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }1d\theta =\frac{\pi }{2}$

---

3. Ключевая связь между структурами

• Дифференциальное соотношение

  Многочлены первого и второго рода связаны через операцию дифференцирования:

  $T_n^{\prime }(x)=n{U}_{n-1}(x),n\ge 1$

• Доказательство связи

  Дифференцируем $T_n(x)=\cos (n\arccos x)$ как сложную функцию по переменной $x$:

  $T_n^{\prime }(x)=-\sin (n\arccos x)\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot (-1)=n\frac{\sin (n\arccos x)}{\sqrt{1-x^2}}$

  Сравнивая полученную дробь с определением многочлена второго рода степени $n-1$, то есть $U_{n-1}(x)=\frac{\sin (n\arccos x)}{\sqrt{1-x^2}}$, получаем:

  $T_n^{\prime }(x)=n{U}_{n-1}(x)$

---

4. Разложение функций в ряды по многочленам Чебышёва первого рода

• Теоретические основания разложения

  Поскольку система $\{T_n(x){\}}_{n=0}^{\infty }$ ортогональна на отрезке $[-1,1]$ с весом $p(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, абсолютно непрерывную (или кусочно-гладкую) на $[-1,1]$ функцию $f(x)$ можно представить в виде сходящегося ряда Фурье–Чебышёва:

  $f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{T}_n(x)$

• Вывод формул для коэффициентов $a_n$

  Используя свойство ортогональности, умножим обе части гипотетического равенства на $T_m(x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ и проинтегрируем по отрезку $[-1,1]$:

  ${\int }_{-1}^{1}f(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}={\int }_{-1}^1\left(\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{T}_n(x)\right)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

  В силу равномерной сходимости (гарантированной гладкостью $f(x)$) меняем местами знаки интеграла и суммы. Из всех слагаемых в правой части, согласно свойству ортогональности, ненулевым останется только слагаемое при $n=m$:

  • При $m=0$:

    ${\int }_{-1}^{1}f(x)T_0(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{a_0}{2}\cdot \pi ⟹a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_{-1}^{1}f(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

  • При $m\ge 1$:

    ${\int }_{-1}^{1}f(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=a_m\cdot \frac{\pi }{2}⟹a_m=\frac{2}{\pi }{\int }_{-1}^{1}f(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

  Таким образом, общая формула коэффициентов для всех $n\ge 0$ записывается единообразно:

  $a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_{-1}^{1}f(x)T_n(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

• Переход к тригонометрическому интегралу

  На практике вычисление коэффициентов упрощается заменой переменной $x=\cos \theta$:

  $a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(\cos \theta )\cos (n\theta )d\theta$

  Это показывает, что ряд Чебышёва для функции $f(x)$ — это не что иное, как разложение чётной функции $g(\theta )=f(\cos \theta )$ в классический тригонометрический ряд Фурье по косинусам.

---

5. Разложение функций в ряды по многочленам Чебышёва второго рода

• Теоретические основания разложения Система многочленов Чебышёва второго рода $\{U_n(x){\}}_{n=0}^{\infty }$ ортогональна на отрезке $[-1,1]$ с весом $q(x)=\sqrt{1-x^2}$. Любую достаточно гладкую функцию $f(x)$ на этом отрезке можно представить в виде сходящегося ряда:

  $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{U}_n(x)$

• Вывод формул для коэффициентов $b_n$ Воспользуемся свойством ортогональности для полиномов второго рода:

  ${\int }_{-1}^1{U}_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx=\{\begin{array}{ll}0,& n\ne m\\ \frac{\pi }{2},& n=m\end{array}$

  Умножим обе части разложения функции $f(x)$ на $U_m(x)\sqrt{1-x^2}$ и проинтегрируем по отрезку $[-1,1]$:

  ${\int }_{-1}^{1}f(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx={\int }_{-1}^1\left({\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{U}_n(x)\right)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx$

  В силу хорошей сходимости ряда меняем местами знаки интегрирования и суммирования. Из всей суммы ненулевым остаётся только слагаемое при $n=m$:

  ${\int }_{-1}^{1}f(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx=b_m\cdot \frac{\pi }{2}$

  Отсюда получаем явное выражение для коэффициентов $b_n$ при всех $n\ge 0$:

  $b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_{-1}^{1}f(x)U_n(x)\sqrt{1-x^2}dx$

• Переход к тригонометрическому интегралу Для практического вычисления коэффициентов удобно сделать стандартную замену переменной $x=\cos \theta$ (при этом $dx=-\sin \theta d\theta$, а весовая функция преобразуется в $\sqrt{1-x^2}=\sin \theta$).

  Вспоминая тригонометрическое определение $U_n(\cos \theta )=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }$, подставим эти соотношения в интеграл:

  $b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(\cos \theta )\cdot \frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }\cdot \sin \theta \cdot \sin \theta d\theta$

  После сокращения $\sin \theta$ формула для коэффициентов принимает чистый тригонометрический вид:

  $b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(\cos \theta )\sin ((n+1)\theta )\sin \theta d\theta$

---

6. Связь между разложениями первого и второго рода

Ряды по многочленам Чебышёва первого и второго рода тесно связаны между собой математически. Это позволяет переходить от одного представления к другому с помощью дифференцирования или интегрирования.

• Связь через производную Известно классическое соотношение, связывающее многочлены обоих родов:

  $T_{n+1}^{\prime }(x)=(n+1)U_n(x)$

  Если у нас есть разложение некоторой функции по многочленам первого рода:

  $F(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{T}_n(x)$

  То дифференцируя этот ряд почленно, мы автоматически получаем разложение её производной $f(x)=F^{\prime }(x)$ по многочленам второго рода:

  $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{T}_n^{\prime }(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}_n{U}_{n-1}(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }(n+1)a_{n+1}{U}_n(x)$

  Таким образом, коэффициенты разложений $f(x)=\sum b_n{U}_n(x)$ и её первообразной связаны простым линейным соотношением:

  $b_n=(n+1)a_{n+1}$