Полиномы Чебышева и разложения по ним

Данный билет - упрощённая версия question-50-original.

Полиномы Чебышёва и разложения по ним

Многочлены Чебышёва первого рода $T_n(x)$

Определение:

$$T_n(x)=\cos (n\arccos x),x\in [-1,1].$$

При замене $x=\cos \theta$: $T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )$.

Первые значения: $T_0=1$, $T_1=x$, $T_2=2x^2-1$, $T_3=4x^3-3x$.

Рекуррентное соотношение:

$$T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).$$

Доказательство: из тригонометрического тождества $\cos ((n+1)\theta )+\cos ((n-1)\theta )=2\cos \theta \cos (n\theta )$ при $x=\cos \theta$.

Ортогональность на $[-1,1]$ с весом $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$:

$${\int }_{-1}^1{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\{\begin{array}{ll}0,& n\ne m,\\ \pi /2,& n=m\ne 0,\\ \pi ,& n=m=0.\end{array}$$

Доказательство: замена $x=\cos \theta$ сводит интеграл к ${\int }_0^{\pi }\cos (n\theta )\cos (m\theta )d\theta$, который вычисляется через формулу произведения косинусов.

Многочлены Чебышёва второго рода $U_n(x)$

Определение:

$$U_n(x)=\frac{\sin ((n+1)\arccos x)}{\sqrt{1-x^2}},x\in (-1,1).$$

При $x=\cos \theta$: $U_n(\cos \theta )=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }$.

Первые значения: $U_0=1$, $U_1=2x$, $U_2=4x^2-1$.

Рекуррента та же: $U_{n+1}(x)=2x{U}_n(x)-U_{n-1}(x)$.

Ортогональность на $[-1,1]$ с весом $\sqrt{1-x^2}$:

$${\int }_{-1}^1{U}_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx=\{\begin{array}{ll}0,& n\ne m,\\ \pi /2,& n=m.\end{array}$$

Доказательство: замена $x=\cos \theta$ сводит к ${\int }_0^{\pi }\sin ((n+1)\theta )\sin ((m+1)\theta )d\theta$.

Разложения по $T_n$ и $U_n$

Ряд по $T_n$:

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n T_n(x), \quad a_n = \frac{2}{\pi}\int_{-1}^{1} f(x)T_n(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=$$ $$= \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(\cos\theta)\cos(n\theta)\,d\theta.

Ряд по $U_n$:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n U_n(x), \quad b_n = \frac{2}{\pi}\int_{-1}^{1} f(x)U_n(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = $$ $$=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(\cos\theta)\sin((n+1)\theta)\sin\theta\,d\theta.

Коэффициенты получаются умножением на соответствующий многочлен с весом и использованием ортогональности.

Связь между родами

$$T_n^{\prime }(x)=n{U}_{n-1}(x).$$

Доказательство: дифференцируем $T_n(x)=\cos (n\arccos x)$ по $x$ и сравниваем с определением $U_{n-1}$.

Следствие: если $F(x)=\frac{a_0}{2}+\sum a_n{T}_n(x)$, то $F^{\prime }(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }(n+1)a_{n+1}{U}_n(x)$, то есть $b_n=(n+1)a_{n+1}$.