Полиномы Лежандра и разложения по ним

1. Происхождение и определение через ортогонализацию Грамма–Шмидта

Рассмотрим вещественное линейное пространство многочленов на отрезке $[- 1, 1]$ . Зададим на нём скалярное произведение стандартным образом:

(f, g) = \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) d x

Естественный базис этого пространства образован степенными функциями:

{1, x, x^{2}, x^{3}, \dots, x^{n}, \dots}

Данная система функций линейно независима, но не является ортогональной. Применение классического процесса ортогонализации Грама–Шмидта к этой системе приводит к последовательности ортогональных многочленов $L_{n} (x)$ степени $n$ .

Для однозначного определения полиномов Лежандра $P_{n} (x)$ вводится нормировочное условие на правом конце отрезка:

P_{n} (1) = 1

Таким образом, полиномы Лежандра — это система многочленов ${P_{n} (x)}_{n = 0}^{\infty}$ , однозначно определяемая следующими требованиями:

степень $de g P_{n} (x) = n$ ;
ортогональность при $m \neq = n$ : $\int_{- 1}^{1} P_{n} (x) P_{m} (x) d x = 0$
нормировка: $P_{n} (1) = 1$

Первые несколько полиномов имеют вид:

P_{0} (x) = 1

P_{1} (x) = x

P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1)

P_{3} (x) = \frac{1}{2} (5 x^{3} - 3 x)

2. Явная формула Родрига через дифференцирование

Для аналитического представления полиномов Лежандра используется формула Родрига, позволяющая находить $P_{n} (x)$ прямой операцией дифференцирования функции степени $2 n$ .

Теорема 1 (Формула Родрига)

Для любого $n \in N_{0}$ справедлива формула:

P_{n} (x) = \frac{1}{2 ^{n} n !} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n}

Доказательство

Пусть $v (x) = (x^{2} - 1)^{n}$ . Данная функция является многочленом степени $2 n$ . Её $n$ -я производная $u (x) = v^{(n)} (x)$ представляет собой многочлен степени $n$ .

Покажем, что $u (x)$ ортогонален любому многочлену $Q (x)$ меньшей степени ( $de g Q = m < n$ ). Рассмотрим скалярное произведение:

(u, Q) = \int_{- 1}^{1} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n} \cdot Q (x) d x

Интегрируя по частям $n$ раз, на каждом шаге внеинтегральный член будет обращаться в ноль, так как функция $(x^{2} - 1)^{n}$ и её первые $n - 1$ производных содержат множитель $(x^{2} - 1)$ в положительной степени и зануляются в точках $x = \pm 1$ . После $n$ шагов получаем:

(u, Q) = (- 1)^{n} \int_{- 1}^{1} (x^{2} - 1)^{n} \cdot \frac{d ^{n} Q ( x )}{d x ^{n}} d x

Так как $de g Q = m < n$ , то его $n$ -я производная тождественно равна нулю:

\frac{d ^{n} Q ( x )}{d x ^{n}} = 0 ⟹ (u, Q) = 0

Следовательно, $u (x)$ ортогонален всем многочленам степени ниже $n$ , что совпадает со свойством ортогональности полиномов Лежандра.

Для проверки нормировочного множителя разложим $(x^{2} - 1)^{n}$ по формуле бинома Ньютона:

(x^{2} - 1)^{n} = x^{2 n} - n x^{2 n - 2} + \dots

Дифференцируя старший член $n$ раз, находим:

\frac{d ^{n}}{d x ^{n}} [x^{2 n}] = 2 n (2 n - 1) \dots (n + 1) x^{n} = \frac{( 2 n )!}{n !} x^{n}

Подставим $x = 1$ в исходное выражение производной. Используя формулу Лейбница для дифференцирования произведения функций $v (x) = (x - 1)^{n} (x + 1)^{n}$ :

\frac{d ^{n}}{d x ^{n}} [(x - 1)^{n} (x + 1)^{n}] = k = 0 \sum n (k n) \frac{d ^{k}}{d x ^{k}} (x - 1)^{n} \cdot \frac{d ^{n - k}}{d x ^{n - k}} (x + 1)^{n}

При $x = 1$ все слагаемые суммы, кроме $k = n$ , обращаются в ноль из-за множителя $(x - 1)^{n - k}$ Остаётся единственное слагаемое:

(n n) \cdot n! \cdot (x + 1)^{n}_{x = 1} = n! \cdot 2^{n}

Чтобы выполнялось условие $P_{n} (1) = 1$ , необходимо разделить производную на величину $2^{n} n!$ :

P_{n} (x) = \frac{1}{2 ^{n} n !} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n}

3. Строгое доказательство ортогональности

Вывод свойства ортогональности напрямую следует из математической структуры формулы Родрига.

Теорема 2 (Ортогональность)

Система полиномов Лежандра ортогональна на отрезке $[- 1, 1]$ :

\int_{- 1}^{1} P_{n} (x) P_{m} (x) d x = 0, при m \neq = n

Доказательство

Без потери общности положим, что $m < n$ . Запишем интеграл, используя явный вид из формулы Родрига:

I = \int_{- 1}^{1} P_{n} (x) P_{m} (x) d x = \frac{1}{2 ^{n} n !} \int_{- 1}^{1} [\frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n}] P_{m} (x) d x

Применим операцию интегрирования по частям. Пусть $u = P_{m} (x)$ , а $d v = \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n} d x$ :

I = \frac{1}{2 ^{n} n !} (P_{m} (x) \frac{d ^{n - 1}}{d x ^{n - 1}} (x^{2} - 1)^{n}_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \frac{d ^{n - 1}}{d x ^{n - 1}} (x^{2} - 1)^{n} \cdot \frac{d P _{m} ( x )}{d x} d x)

Как было показано ранее, функция $(x^{2} - 1)^{n}$ имеет корни кратности $n$ в точках $x = \pm 1$ , поэтому её производные до порядка $(n - 1)$ включительно обращаются в ноль на границах интегрирования. Внеинтегральный член пропадает.

Повторяя интегрирование по частям ровно $m + 1$ раз, мы перенесём дифференцирование на полином $P_{m} (x)$ :

I = \frac{( - 1 ) ^{m + 1}}{2 ^{n} n !} \int_{- 1}^{1} [\frac{d ^{n - m - 1}}{d x ^{n - m - 1}} (x^{2} - 1)^{n}] \cdot \frac{d ^{m + 1} P _{m} ( x )}{d x ^{m + 1}} d x

Поскольку $P_{m} (x)$ является многочленом степени $m$ , его производная порядка $(m + 1)$ тождественно равна нулю:

\frac{d ^{m + 1} P _{m} ( x )}{d x ^{m + 1}} = 0

Следовательно, подынтегральное выражение обращается в ноль, откуда получаем:

I = 0

4. Дифференциальное уравнение Лежандра

Полиномы Лежандра являются решениями регулярной задачи Штурма–Лиувилля для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Теорема 3

Каждый полином Лежандра $P_{n} (x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:

\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{d P _{n} ( x )}{d x}] + n (n + 1) P_{n} (x) = 0

Или в развёрнутом виде:

(1 - x^{2}) P_{n}^{''} (x) - 2 x P_{n}^{'} (x) + n (n + 1) P_{n} (x) = 0

Доказательство

Введём вспомогательную функцию $v (x) = (x^{2} - 1)^{n}$ . Найдём её первую производную:

v^{'} (x) = n (x^{2} - 1)^{n - 1} \cdot 2 x ⟹ (x^{2} - 1) v^{'} (x) = 2 n xv (x)

Продифференцируем полученное тождество $(x^{2} - 1) v^{'} - 2 n xv = 0$ по формуле Лейбница ровно $n + 1$ раз:

\frac{d ^{n + 1}}{d x ^{n + 1}} [(x^{2} - 1) v^{'}] - 2 n \frac{d ^{n + 1}}{d x ^{n + 1}} [xv] = 0

Вычислим отдельно каждое слагаемое, учитывая, что старшие производные от линейных функций зануляются:

Первый блок: $(0 n + 1) (x^{2} - 1) v^{(n + 2)} + (1 n + 1) 2 x v^{(n + 1)} + (2 n + 1) 2 v^{(n)}$ $= (x^{2} - 1) v^{(n + 2)} + 2 (n + 1) x v^{(n + 1)} + n (n + 1) v^{(n)}$
Второй блок: $- 2 n ((0 n + 1) x v^{(n + 1)} + (1 n + 1) 1 \cdot v^{(n)}) = - 2 n x v^{(n + 1)} - 2 n (n + 1) v^{(n)}$

Сложим полученные выражения:

(x^{2} - 1) v^{(n + 2)} + [2 (n + 1) x - 2 n x] v^{(n + 1)} + [n (n + 1) - 2 n (n + 1)] v^{(n)} = 0

(x^{2} - 1) v^{(n + 2)} + 2 x v^{(n + 1)} - n (n + 1) v^{(n)} = 0

Умножим уравнение на $- 1$ :

(1 - x^{2}) v^{(n + 2)} - 2 x v^{(n + 1)} + n (n + 1) v^{(n)} = 0

Сделаем линейную замену переменной функции через производную порядка $n$ , то есть $u (x) = v^{(n)} (x)$ :

(1 - x^{2}) u^{''} (x) - 2 x u^{'} (x) + n (n + 1) u (x) = 0

Поскольку по формуле Родрига $P_{n} (x) = \frac{1}{2 ^{n} n !} u (x)$ , а само дифференциальное уравнение линейное и однородное, то нормированная функция $P_{n} (x)$ также удовлетворяет исходному уравнению.

5. Производящая функция

Производящая функция позволяет кодировать всю бесконечную систему полиномов Лежандра в виде коэффициентов степенного ряда по вспомогательному параметру $t$ .

Теорема 4

Для $∣ t ∣ < 1$ и $∣ x ∣ \leq 1$ справедливо разложение: $G (x, t) = \frac{1}{1 - 2 x t + t ^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} P_{n} (x) t^{n}$

Доказательство

Разложим функцию $G (x, t)$ по формуле биномиального ряда Ньютона. Представим её в виде: $G (x, t) = [1 - (2 x t - t^{2})]^{- 1/2}$ Используя обобщённую формулу Ньютона $(1 - z)^{- α} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{Γ ( k + α )}{k ! Γ ( α )} z^{k}$ , для случая $α = 1/2$ получаем: $[1 - (2 x t - t^{2})]^{- 1/2} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{( 2 k )!}{2 ^{2 k} ( k ! ) ^{2}} (2 x t - t^{2})^{k}$ Применим классический бином Ньютона для раскрытия внутренней разности в степени $k$ : $(2 x t - t^{2})^{k} = \sum_{m = 0}^{k} (m k) (2 x t)^{k - m} (- t^{2})^{m} = \sum_{m = 0}^{k} (- 1)^{m} \frac{k !}{m ! ( k - m )!} (2 x)^{k - m} t^{k + m}$ Подставим данное выражение обратно в бесконечный ряд: $G (x, t) = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{m = 0}^{k} (- 1)^{m} \frac{( 2 k )!}{2 ^{2 k} k ! m ! ( k - m )!} (2 x)^{k - m} t^{k + m}$ Сделаем замену индексов суммирования для явного выделения степенного члена $t^{n}$ . Пусть $n = k + m$ . Так как $m \leq k$ , то диапазон изменений накладывает ограничение $n - m = k \geq m$ , откуда $2 m \leq n$ , следовательно, $m$ меняется от $0$ до $⌊ n /2 ⌋$ . Произведём перегруппировку двойного ряда: $G (x, t) = \sum_{n = 0}^{\infty} [\sum_{m = 0}^{⌊ n /2 ⌋} (- 1)^{m} \frac{( 2 n - 2 m )!}{2 ^{2 n - 2 m} ( n - m )! m ! ( n - 2 m )!} (2 x)^{n - 2 m}] t^{n}$ Сократим степени двойки внутри внутреннего коэффициента: $\frac{2 ^{n - 2 m}}{2 ^{2 n - 2 m}} = \frac{1}{2 ^{n}}$ В результате преобразований коэффициент при $t^{n}$ приобретает вид: $\sum_{m = 0}^{⌊ n /2 ⌋} \frac{( - 1 ) ^{m}}{2 ^{n}} \frac{( 2 n - 2 m )!}{m ! ( n - m )! ( n - 2 m )!} x^{n - 2 m}$ Покажем, что полученное выражение тождественно равно многочлену Лежандра $P_{n} (x)$ , исходя из формулы Родрига. Разложим функцию $(x^{2} - 1)^{n}$ по биному Ньютона и продифференцируем её $n$ раз: $(x^{2} - 1)^{n} = \sum_{m = 0}^{n} (- 1)^{m} (m n) x^{2 n - 2 m}$ $\frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n} = \sum_{m = 0}^{⌊ n /2 ⌋} (- 1)^{m} \frac{n !}{m ! ( n - m )!} \cdot (2 n - 2 m) (2 n - 2 m - 1) \dots (n - 2 m + 1) x^{n - 2 m}$ $= \sum_{m = 0}^{⌊ n /2 ⌋} (- 1)^{m} \frac{n !}{m ! ( n - m )!} \frac{( 2 n - 2 m )!}{( n - 2 m )!} x^{n - 2 m}$ Умножив результат дифференцирования на нормировочный коэффициент формулы Родрига $\frac{1}{2 ^{n} n !}$ , получаем: $P_{n} (x) = \frac{1}{2 ^{n} n !} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{2} - 1)^{n} = \sum_{m = 0}^{⌊ n /2 ⌋} \frac{( - 1 ) ^{m}}{2 ^{n}} \frac{( 2 n - 2 m )!}{m ! ( n - m )! ( n - 2 m )!} x^{n - 2 m}$ Структуры коэффициентов полностью совпали, что строго доказывает тождество: $G (x, t) = \sum_{n = 0}^{\infty} P_{n} (x) t^{n}$

6. Рекуррентные соотношения

Рекуррентные формулы связывают между собой три последовательных полинома Лежандра, позволяя эффективно вычислять функции высших порядков без операции дифференцирования.

Теорема 5 (Трёхчленное рекуррентное соотношение)

Для любого $n \in N$ выполняется равенство:

(n + 1) P_{n + 1} (x) - (2 n + 1) x P_{n} (x) + n P_{n - 1} (x) = 0

Доказательство

Воспользуемся свойством производящей функции $G (x, t) = (1 - 2 x t + t^{2})^{- 1/2}$ . Найдём её частную производную по параметру $t$ :

\frac{\partial G}{\partial t} = - \frac{1}{2} (1 - 2 x t + t^{2})^{- 3/2} \cdot (- 2 x + 2 t) = \frac{x - t}{( 1 - 2 x t + t ^{2} ) ^{3/2}}

Из полученной структуры очевидно тождество:

(1 - 2 x t + t^{2}) \frac{\partial G}{\partial t} = (x - t) G

Подставим в это соотношение представление функции $G (x, t)$ в виде степенного ряда $\sum_{n = 0}^{\infty} P_{n} (x) t^{n}$ :

(1 - 2 x t + t^{2}) n = 1 \sum \infty n P_{n} (x) t^{n - 1} = (x - t) n = 0 \sum \infty P_{n} (x) t^{n}

Раскроем скобки в левой и правой частях равенства:

n = 1 \sum \infty n P_{n} (x) t^{n - 1} - n = 1 \sum \infty 2 x n P_{n} (x) t^{n} + n = 1 \sum \infty n P_{n} (x) t^{n + 1} = n = 0 \sum \infty x P_{n} (x) t^{n} - n = 0 \sum \infty P_{n} (x) t^{n + 1}

Сдвинем индексы суммирования так, чтобы привести все слагаемые к общему виду с одинаковой степенью переменной $t^{n}$ :

$\sum_{n = 1}^{\infty} n P_{n} (x) t^{n - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) P_{n + 1} (x) t^{n}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} n P_{n} (x) t^{n + 1} = \sum_{n = 2}^{\infty} (n - 1) P_{n - 1} (x) t^{n}$
$\sum_{n = 0}^{\infty} P_{n} (x) t^{n + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} P_{n - 1} (x) t^{n}$

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $t^{n}$ для общего случая $n \geq 1$ :

(n + 1) P_{n + 1} (x) - 2 x n P_{n} (x) + (n - 1) P_{n - 1} (x) = x P_{n} (x) - P_{n - 1} (x)

Перенесём все члены в левую часть уравнения и сгруппируем слагаемые:

(n + 1) P_{n + 1} (x) - (2 n + 1) x P_{n} (x) + n P_{n - 1} (x) = 0

7. Физическое приложение: разложение обратного расстояния

В задачах гравитации и электростатики фундаментальную роль играет потенциал поля. Возникает необходимость разложения функции обратного расстояния между двумя радиус-векторами по полиномам Лежандра.

Пусть заданы два вектора $r$ и $r^{'}$ в трёхмерном пространстве. Обозначим их длины за $r = ∣ r ∣$ и $r^{'} = ∣ r^{'} ∣$ . Пусть $θ$ — угол между ними.

По теореме косинусов квадрат расстояния между концами векторов равен:

∣ r - r^{'} ∣^{2} = r^{2} + (r^{'})^{2} - 2 r r^{'} cos θ

Рассмотрим случай, когда $r^{'} < r$ (аппроксимация поля на большом расстоянии от источника). Вынесем величину $r^{2}$ из-под знака корня для получения обратного расстояния:

\frac{1}{∣ r - r ^{'} ∣} = \frac{1}{r ^{2} - 2 r r ^{'} cos θ + ( r ^{'} ) ^{2}} = \frac{1}{r} \frac{1}{1 - 2 cos θ ( \frac{r ^{'}}{r} ) + ( \frac{r ^{'}}{r} ) ^{2}}

Введём безразмерные переменные для сопоставления со структурой производящей функции:

x = cos θ, t = \frac{r ^{'}}{r} < 1

Подставляя новые переменные, получаем в точности выражение для производящей функции $G (x, t)$ :

\frac{1}{∣ r - r ^{'} ∣} = \frac{1}{r} n = 0 \sum \infty P_{n} (cos θ) (\frac{r ^{'}}{r})^{n} = n = 0 \sum \infty \frac{( r ^{'} ) ^{n}}{r ^{n + 1}} P_{n} (cos θ)

Аналогично, если область пространства удовлетворяет условию $r < r^{'}$ , вынесение старшего параметра даёт симметричный ряд:

\frac{1}{∣ r - r ^{'} ∣} = n = 0 \sum \infty \frac{r ^{n}}{( r ^{'} ) ^{n + 1}} P_{n} (cos θ)

8. Теория разложений в ряд Фурье–Лежандра

Гильбертово пространство $L_{2} [a, b]$ — это множество всех вещественных (или комплексных) функций $f (x)$ , заданных на отрезке $[a, b]$ , у которых интеграл от квадрата модуля сходится:

Поскольку система многочленов Лежандра ${P_{n} (x)}_{n = 0}^{\infty}$ является ортогональной и полной в гильбертовом пространстве $L_{2} [- 1, 1]$ , любая функция, интегрируемая с квадратом, может быть разложена в обобщённый ряд Фурье.

Для построения разложения вычислим норму полиномов Лежандра.

∥ P_{n} ∥^{2} = \int_{- 1}^{1} P_{n}^{2} (x) d x = \frac{2}{2 n + 1}

Если функция $f (x) \in L_{2} [- 1, 1]$ , то её представление имеет вид:

f (x) = n = 0 \sum \infty c_{n} P_{n} (x)

Где коэффициенты Фурье–Лежандра $c_{n}$ определяются через скалярное произведение исходной функции с базисными многочленами с учётом нормировочного множителя:

c_{n} = \frac{2 n + 1}{2} \int_{- 1}^{1} f (x) P_{n} (x) d x

Для кусочно-гладких функций справедлива теорема о поточечной сходимости: в точках разрыва первого рода ряд сходится к полусумме односторонних пределов $\frac{f ( x + 0 ) + f ( x - 0 )}{2}$ , а в точках непрерывности — непосредственно к значению $f (x)$ .

author	Ivan
links	Кудрявцев_Л_Д_Математический_анализ_том_2_2.pdf, Лекции по матфизу.pdf

ITMO Notebook

Explorer

Полиномы Лежандра и разложения по ним