Полиномы Лежандра и разложения по ним

Данный билет - упрощённая версия question-49-original.

Полиномы Лежандра и разложения по ним

Определение

Полиномы Лежандра $\{P_n(x){\}}_{n=0}^{\infty }$ — система многочленов на $[-1,1]$, однозначно задаваемая тремя условиями:

• $\mathrm{deg}{P}_n=n$;
• ортогональность: ${\int }_{-1}^1{P}_n(x)P_m(x)dx=0$ при $n\ne m$;
• нормировка: $P_n(1)=1$.

Первые значения: $P_0=1$, $P_1=x$, $P_2=\frac{1}{2}(3x^2-1)$, $P_3=\frac{1}{2}(5x^3-3x)$.

Теорема. Формула Родрига

$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n.$$

Доказательство

Обозначим $u(x)=\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$ — многочлен степени $n$.

Ортогональность. Для любого многочлена $Q$ степени $m<n$ интегрируем по частям $n$ раз:

$${\int }_{-1}^{1}u(x)Q(x)dx=(-1{)}^n{\int }_{-1}^1(x^2-1{)}^n{Q}^{(n)}(x)dx=0,$$

т. к. $Q^{(n)}\equiv 0$. Граничные члены исчезают, поскольку $(x^2-1{)}^n$ обращается в нуль в точках $x=\pm 1$ с кратностью $n$.

Нормировка. По формуле Лейбница для $(x-1{)}^n(x+1{)}^n$ при $x=1$ выживает только слагаемое с $k=n$:

$${\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n|}_{x=1}=n!\cdot 2^n,$$

откуда $P_n(1)=\frac{1}{2^{n}n!}\cdot n!\cdot 2^n=1$.

Теорема. Ортогональность и норма

$${\int }_{-1}^1{P}_n(x)P_m(x)dx=\{\begin{array}{ll}0,& n\ne m,\\ \frac{2}{2n+1},& n=m.\end{array}$$

Доказательство ортогональности

Пусть $m<n$. По формуле Родрига:

$${\int }_{-1}^1{P}_n{P}_{m}dx=\frac{1}{2^{n}n!}{\int }_{-1}^1\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n\cdot P_{m}dx.$$

Интегрируем по частям $m+1$ раз. Граничные члены всегда нулевые. После $m+1$ шагов получаем множитель $P_m^{(m+1)}\equiv 0$, откуда интеграл равен нулю.

Дифференциальное уравнение Лежандра

Каждый $P_n(x)$ удовлетворяет уравнению:

$$(1-x^2)P_n^{\prime \prime }-2x{P}_n^{\prime }+n(n+1)P_n=0.$$

Разложение в ряд Фурье–Лежандра

Поскольку система $\{P_n\}$ полна в $L_2[-1,1]$, для $f\in L_2[-1,1]$:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{P}_n(x),c_n=\frac{2n+1}{2}{\int }_{-1}^{1}f(x)P_n(x)dx.$$

Формула для $c_n$ получается умножением ряда на $P_m(x)$, интегрированием и использованием ортогональности: из всех слагаемых выживает одно при $n=m$.