Теорема Вейерштрасса о приближении многочленами

Данный билет - упрощённая версия question-48-original.

Теорема Вейерштрасса о приближении многочленами

Теорема Вейерштрасса

Пусть $f\in C[a,b]$. Тогда $\forall \epsilon >0$ существует многочлен $P(x)$ такой, что

$$\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)-P(x)|<\epsilon .$$

Это эквивалентно тому, что существует последовательность многочленов $\{P_n\}$, равномерно сходящаяся к $f$ на $[a,b]$.

Доказательство через многочлены Бернштейна

Без ограничения общности рассмотрим $[0,1]$.

Многочлены Бернштейна для функции $f$ степени $n$:

$$B_n(f;x)=\sum _{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)C_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}.$$

Вспомогательные тождества (следуют из формулы бинома Ньютона):

$$\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}=1,\sum _{k=0}^n\frac{k}{n}{C}_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}=x,$$ $$\sum _{k=0}^n\frac{k^2}{n^2}{C}_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}=x^2+\frac{x(1-x)}{n}.$$

Ключевая оценка. Из трёх тождеств:

$$\sum _{k=0}^n{\left(x-\frac{k}{n}\right)}^2{C}_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}=\frac{x(1-x)}{n}\le \frac{1}{4n}.$$

Доказательство равномерной сходимости

Зафиксируем $\epsilon >0$. Из тождества 1: $f(x)={\sum }_{k=0}^{n}f(x)C_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}$, поэтому

$$|f(x)-B_n(f;x)|\le \sum _{k=0}^n\left|f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right|C_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}.$$

По теореме Кантора $f$ равномерно непрерывна: $\exists \delta >0$: $|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon /2$. Также $|f|\le M$.

Разобьём сумму на две части:

• $K_1$: индексы с $|x-k/n|<\delta$,
• $K_2$: индексы с $|x-k/n|\ge \delta$.

Оценка ${\Sigma }_1$ (по $K_1$): по равномерной непрерывности и тождеству 1:

$${\Sigma }_1<\frac{\epsilon }{2}\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}=\frac{\epsilon }{2}.$$

Оценка ${\Sigma }_2$ (по $K_2$): для $k\in K_2$ выполнено $\frac{(x-k/n{)}^2}{{\delta }^2}\ge 1$, поэтому домножим каждое слагаемое на это выражение, чтобы в конце получить деление на $n$:

$${\Sigma }_2\le 2M\sum _{k\in K_2}\frac{(x-k/n{)}^2}{{\delta }^2}{C}_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}\le \frac{2M}{{\delta }^2}\cdot \frac{1}{4n}=\frac{M}{2n{\delta }^2}.$$

Выберем $N$ так, что при $n>N$: $\frac{M}{2n{\delta }^2}<\frac{\epsilon }{2}$. Тогда для всех $x\in [0,1]$:

$$|f(x)-B_n(f;x)|<\epsilon .$$

Так как $N$ зависит только от $M,\delta ,\epsilon$ и не зависит от $x$, сходимость равномерная.