Теорема Вейерштрасса о приближении многочленами

Многочлены Бернштейна позволяют конструктивно доказать теорему Вейерштрасса

Многочлены Бернштейна

Определение

Пусть $f(x)$ — функция, непрерывная на отрезке $[0,1]$. Многочленом Бернштейна степени $n$ для функции $f$ называется выражение вида:

$B_n(f;x)={\sum }_{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)p_{n,k}(x),\text{где }{p}_{n,k}(x)=C_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}$

Здесь $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Вероятностная интерпретация

Рассмотрим схему из $n$ независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха $x\in ⟨0,1⟩$. Пусть $S_n$ — случайная величина, равная количеству успехов. Вероятность того, что произойдет ровно $k$ успехов, задается формулой:

$P(S_n=k)=C_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}$

Известно, что для данной случайной величины математическое ожидание $E[S_n]=nx$, а дисперсия $D(S_n)=nx(1-x)$.

1. Первое тождество

${\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}=1$

Доказательство

• Данная сумма представляет собой полную вероятность всех возможных исходов в схеме из $n$ испытаний:

  ${\sum }_{k=0}^{n}P(S_n=k)=1$

• Согласно формуле бинома Ньютона, это выражение тождественно равно $(x+(1-x){)}^n=1^n=1$.

2. Второе тождество

${\sum }_{k=0}^n\frac{k}{n}{C}_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}=x$

Доказательство

• Выражение в левой части можно записать через математическое ожидание случайной величины $S_n$:

  ${\sum }_{k=0}^n\frac{k}{n}P(S_n=k)=\frac{1}{n}E[S_n]$

• Так как $E[S_n]=nx$, получаем:

  $\frac{1}{n}(nx)=x$

3. Третье тождество

${\sum }_{k=0}^n\frac{k^2}{n^2}{C}_n^k{x}^k(1-x{)}^{n-k}=x^2+\frac{x(1-x)}{n}$

Доказательство

• Левая часть есть математическое ожидание квадрата величины $S_n/n$:

  ${\sum }_{k=0}^n\frac{k^2}{n^2}P(S_n=k)=E\left[{\left(\frac{S_n}{n}\right)}^2\right]=\frac{1}{n^2}E[S_n^2]$

• Используя связь момента второго порядка с дисперсией $E[S_n^2]=D(S_n)+(E[S_n]{)}^2$:

  $E[S_n^2]=nx(1-x)+(nx{)}^2=nx(1-x)+n^2{x}^2$

• Подставляя это в выражение:

  $\frac{nx(1-x)+n^2{x}^2}{n^2}=\frac{nx(1-x)}{n^2}+\frac{n^2{x}^2}{n^2}=\frac{x(1-x)}{n}+x^2$

  Что и требовалось доказать.