Бесконечные произведения для синуса, косинуса, дзета-функции Римана. Формула Валлиса

Бесконечные произведения для sin, cos, ζ(s). Формула Валлиса

Бесконечное произведение для синуса и косинуса

При помощи ряда Фурье можно вычислить такую формулу для синуса.

$$\sin t=t\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-\frac{t^2}{{\pi }^2{k}^2}\right).$$

Из $\cos x=\frac{\sin 2x}{2\sin x}$ подставляем произведения для $\sin 2x$ и $\sin x$, сокращаем чётные индексы:

$$\cos x=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-\frac{4x^2}{{\pi }^2(2k-1{)}^2}\right).$$

Формула Валлиса

Подробнее описавалось в вопросе 19, впрочем оттуда и будет приведено док-во.

Рассмотрим последовательность интегралов

$$I_n:={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx,n\in \mathbb{N}.$$

Эти интегралы называются интегралами Валлиса. Известна рекуррентная формула:

$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2},\text{где}{I}_0=\frac{\pi }{2},I_1=1$$

Последовательно применяя её, выразим $I_n$ для чётных и нечётных степеней через двойные факториалы: $I_{2m}=\frac{2m-1}{2m}\cdot \frac{2m-3}{2m-2}\cdots \frac{1}{2}{I}_0=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\frac{\pi }{2}$ $I_{2m+1}=\frac{2m}{2m+1}\cdot \frac{2m-2}{2m-1}\cdots \frac{2}{3}{I}_1=\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}$

Теперь мы сможем вычислить значение числа $\pi$:

Transclude of question-19#теорема-формула-валлиса

4. Дзета-функция Римана и тождество Эйлера

Определение дзета-функции Римана

Дзета-функция Римана $\zeta (s)$ для вещественных $s>1$ определяется как сумма сходящегося обобщённого гармонического ряда:

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\dots$$

При $s>1$ ряд сходится абсолютно, что позволяет законно производить перестановку членов и умножение рядов.

Тождество Эйлера (эйлерово произведение)

Эйлер установил фундаментальную связь дзета-функции с простыми числами. Бесконечное произведение по всем простым числам $\mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,\dots \}$ имеет вид:

$$\zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\prod _{p\in \mathbb{P}}{\left(1-\frac{1}{p^s}\right)}^{-1}$$

Доказательство (метод решета Эратосфена)

• Рассмотрим $\zeta (s)$ и умножим его на $\frac{1}{2^s}$:

$$\frac{1}{2^s}\zeta (s)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\dots$$

Это в точности все члены исходного ряда с чётными знаменателями.

• Вычтем этот ряд из $\zeta (s)$. Все слагаемые со знаменателями, кратными $2$, сократятся:

$$\zeta (s)-\frac{1}{2^s}\zeta (s)=\zeta (s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\dots$$

• Умножим полученное выражение на $\frac{1}{3^s}$:

$$\frac{1}{3^s}\zeta (s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)=\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\dots$$

Вычитая, исключаем все знаменатели, кратные $3$:

$$\zeta (s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)=1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\dots$$

• Продолжая этот процесс последовательно для всех простых чисел $p$, в правой части в пределе останется только $1$. В левой части накапливается произведение по всем простым числам. В силу абсолютной сходимости всех участвующих рядов законен переход к пределу:

$$\zeta (s)\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)=1$$

Разделив обе части на произведение, получаем искомую формулу:

$$\zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb{P}}{\left(1-\frac{1}{p^s}\right)}^{-1}$$

Тождество Эйлера является аналитическим выражением основной теоремы арифметики: каждое натуральное число единственным образом разлагается в произведение простых, и при перемножении рядов $\frac{1}{1-p^{-s}}=1+p^{-s}+p^{-2s}+\dots$ каждое $n^{-s}$ возникает ровно один раз.