Формула Валлиса через определенный интеграл от степеней синуса

Определение. Интеграл Валлиса

Рассмотрим последовательность интегралов

$$I_n:={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx,n\in \mathbb{N}.$$

Эти интегралы называются интегралами Валлиса. Основная цель — получить явную формулу для $I_n$ и исследовать её поведение при больших $n$.

Теорема. Рекуррентная формула Валлиса

Для любого $n\ge 2$ справедливо соотношение

$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}.$$

Доказательство

Используем интегрирование по частям:

$$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-1}x\cdot \sin xdx.$$

$u={\sin }^{n-1}x,dv=\sin xdx.$ $du=(n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx,v=-\cos x.$

По формуле интегрирования по частям

$$I_n=-{\sin }^{n-1}x\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}+(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx.$$

Граничный член равен нулю, поэтому

$$I_n=(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx.$$

Используем тождество ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x.$ Тогда

$$I_n=(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-2}xdx-(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx.$$

То есть

$$I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n.$$

Следовательно,

$$n{I}_n=(n-1)I_{n-2},$$

откуда

$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}.$$

Значения первых интегралов

Непосредственно вычисляем: $I_0={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1dx=\frac{\pi }{2}$ и $I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx=1.$

Формула Валлиса для чётных степеней

Пусть $n=2m$ Тогда последовательное применение рекуррентной формулы даёт

$$I_{2m}=\frac{2m-1}{2m}\cdot \frac{2m-3}{2m-2}\cdots \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}{I}_0.$$

Так как $I_0=\frac{\pi }{2}$, получаем

$$I_{2m}=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot \frac{\pi }{2}.$$

Двойной факториал (обозначается $n!!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$, имеющих ту же чётность, что и $n$.

Формула Валлиса для нечётных степеней

Пусть $n=2m+1$. Тогда

$$I_{2m+1}=\frac{2m}{2m+1}\cdot \frac{2m-2}{2m-1}\cdots \frac{2}{3}{I}_1.$$

Так как $I_1=1$, получаем

$$I_{2m+1}=\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}.$$

Теорема. Формула Валлиса

Поскольку на $(0,\pi /2)$ выполняется $0<\sin x<1$, повышение степени уменьшает значение функции: ${\sin }^{2m+1}x<{\sin }^{2m}x<{\sin }^{2m-1}x$. Проинтегрировав это, получаем строгое неравенство: $I_{2m+1}<I_{2m}<I_{2m-1}$

Подставим сюда найденные явные формулы: $\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}<\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\frac{\pi }{2}<\frac{(2m-2)!!}{(2m-1)!!}$

Разделим все три части неравенства на коэффициент $\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}$ из центра. Левая часть возведется в квадрат, а в правой сократятся члены: $\frac{((2m)!!{)}^2}{(2m-1)!!(2m+1)!!}<\frac{\pi }{2}<\frac{((2m)!!{)}^2}{(2m-1)!!(2m+1)!!}\cdot \frac{2m+1}{2m}$

Обозначим левую дробь за $x_m$. Тогда неравенство принимает вид: $x_m<\frac{\pi }{2}<x_m\left(1+\frac{1}{2m}\right)$

Так как при $m\to \infty$ множитель $\left(1+\frac{1}{2m}\right)\to 1$, крайние члены стремятся друг к другу. По теореме о сжатой переменной ${\lim }_{m\to \infty }{x}_m=\frac{\pi }{2}$. Переходя к пределу, получаем формулу Валлиса: $\frac{\pi }{2}={\lim }_{m\to \infty }\frac{((2m)!!{)}^2}{(2m-1)!!(2m+1)!!}={\prod }_{k=1}^{\infty }\frac{(2k{)}^2}{(2k-1)(2k+1)}$