Преобразование рядов по Эйлеру и по Куммеру

Преобразование рядов по Эйлеру и по Куммеру

Главная цель преобразований Эйлера и Куммера — ускорение сходимости рядов. Многие практически важные сходящиеся ряды (например, ряд Лейбница ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$ для вычисления $\pi$) сходятся настолько медленно, что для достижения приемлемой точности требуются миллионы слагаемых. Специальные алгебраические преобразования позволяют переписать исходный ряд в виде нового ряда, который сходится к той же сумме, но значительно быстрее.

---

1. Преобразование рядов по Эйлеру

Определение разности $k$-го порядка

Преобразование Эйлера применяется преимущественно к знакочередующимся рядам и позволяет радикально улучшить скорость их сходимости.

Пусть задан сходящийся знакочередующийся ряд:

$$S=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n=a_0-a_1+a_2-a_3+\dots$$

Введём оператор нисходящей конечной разности для последовательности $\{a_n\}$:

• Разность нулевого порядка:

$${\Delta }^0{a}_n=a_n$$

• Разность первого порядка:

$${\Delta }^1{a}_n=a_n-a_{n+1}$$

• Разность $k$-го порядка (определяется рекуррентно):

$${\Delta }^k{a}_n={\Delta }^{k-1}{a}_n-{\Delta }^{k-1}{a}_{n+1}$$

Вывод формулы преобразования Эйлера

Исходный ряд можно формально записать с помощью оператора сдвига $E$, действующего как $E{a}_n=a_{n+1}$. Тогда $\Delta =I-E$, где $I$ — тождественный оператор.

Рассмотрим сумму:

$$S=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n=\sum _{n=0}^{\infty }(-E{)}^n{a}_0$$

Формально суммируя геометрическую прогрессию операторов, получаем:

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-E{)}^n=(I+E{)}^{-1}$$

Выразим $E$ через $\Delta$: $E=I-\Delta$. Тогда:

$$(I+E{)}^{-1}=(I+(I-\Delta ){)}^{-1}=(2I-\Delta {)}^{-1}=\frac{1}{2}{\left(I-\frac{\Delta }{2}\right)}^{-1}$$

Раскладывая $(I-\Delta /2{)}^{-1}$ в ряд Неймана, получаем:

$$S=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{\Delta }{2}\right)}^k{a}_0=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\Delta }^k{a}_0}{2^{k+1}}$$

Таким образом, формула преобразования Эйлера имеет вид:

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\Delta }^k{a}_0}{2^{k+1}}$$

Скорость сходимости

Для «гладких» последовательностей $\{a_n\}$ (порождённых аналитической функцией с ограниченными производными) конечные разности ${\Delta }^k{a}_0$ быстро убывают с ростом $k$. Коэффициент $1/2^{k+1}$ дополнительно подавляет вклад старших разностей. В совокупности это обеспечивает экспоненциально быструю сходимость преобразованного ряда по сравнению с исходным.

Если исходный ряд расходится, но преобразованный сходится, то полученное число называют обобщённой суммой ряда по Эйлеру.

---

2. Преобразование рядов по Куммеру

Преобразование Куммера является универсальным методом ускорения сходимости числовых рядов с положительными членами.

Не путать с признаком сходимости Куммера.

Пусть требуется вычислить сумму сходящегося ряда:

$$S=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$

Идея метода: выделить из общего члена $a_n$ его главную асимптотическую часть, которая суммируется аналитически.

Для этого подбирается вспомогательный ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{c}_n$, удовлетворяющий двум условиям:

1. Сумма ряда известна точно: ${\sum }_{n=1}^{\infty }{c}_n=C$.
2. Члены $c_n$ асимптотически эквивалентны членам $a_n$ при $n\to \infty$. А именно, существует конечный ненулевой предел:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{c_n}=\gamma \ne 0$$

Вывод формулы преобразования Куммера

Представим $a_n$ в виде тождественного разложения:

$$a_n=\gamma c_n+(a_n-\gamma c_n)$$

Подставим это разложение в исходный ряд:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\gamma c_n+(a_n-\gamma c_n)\right)=\gamma \sum _{n=1}^{\infty }{c}_n+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n-\gamma c_n)$$

Учитывая, что сумма вспомогательного ряда равна $C$, получаем формулу преобразования Куммера: $S=\gamma C+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n-\gamma c_n)$

Скорость сходимости

По построению ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{c_n}=\gamma$, поэтому разность $a_n-\gamma c_n$ есть $o(c_n)$, а значит, и $o(a_n)$. Следовательно, члены нового ряда убывают быстрее членов исходного ряда, что и обеспечивает ускорение сходимости. Величина $\gamma C$ при этом забирает на себя «основную» долю суммы.

Пример

Вычислим ускоренно сумму ряда ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$.

В качестве вспомогательного ряда возьмём ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}$, сумма которого известна: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=1$ Асимптотически при $n\to \infty$: $\frac{1}{n^2}\sim \frac{1}{n(n+1)},\text{т.е.}\gamma =1$ Применяя преобразование Куммера: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=1\cdot 1+{\sum }_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n(n+1)}\right)$ Упростим общий член нового ряда: $\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(n+1)-n}{n^2(n+1)}=\frac{1}{n^2(n+1)}$ Новый ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2(n+1)}$ имеет члены порядка $1/n^3$, поэтому сходится значительно быстрее исходного ($1/n^2$).