Методы суммирования расходящихся рядов: Чезаро, Абеля, Эйлера, Бореля

Билет 32. Методы суммирования расходящихся рядов: Чезаро, Абеля, Эйлера, Бореля

Идея обобщенного суммирования возникает, когда классический предел частичных сумм ряда не существует (то есть ряд расходится), но этому ряду можно разумным образом сопоставить некоторое число $S$. Любой метод суммирования должен удовлетворять двум естественным условиям:

1. Регулярность: если ряд сходится в обычном смысле к числу $S$, то применяемый метод суммирования также должен давать в точности сумму $S$.
2. Линейность: сумма линейной комбинации рядов равна линейной комбинации их сумм.

Заметим, что разные методы могут давать разные суммы для одного расходящегося ряда. Т.е. если сходится - сумма везде одниковая, иначе вопрос остаётся открытым

---

1. Метод Чезаро (метод средних арифметических)

Пусть задан числовой ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$. Обозначим через $S_n$ его $n$-ю частичную сумму:

$$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$

Рассмотрим последовательность средних арифметических первых $n$ частичных сумм:

$${\sigma }_n=\frac{S_1+S_2+\cdots +S_n}{n}$$

Если существует конечный предел этой последовательности, равный $S$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_n=S$$

то говорят, что ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ суммируем методом Чезаро к числу $S$.

Теорема (Фробениуса) утверждает, что метод Чезаро является регулярным. То есть из $S_n\to S$ всегда вытекает ${\sigma }_n\to S$. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Пример: Ряд Гранди $1-1+1-1+\dots$ Частичные суммы $S_n$ принимают значения $1,0,1,0,\dots$ Средние арифметические ${\sigma }_n$ равны:

$${\sigma }_n=\frac{1}{2}+\frac{1+(-1{)}^{n-1}}{4n}$$

В пределе при $n\to \infty$ получаем:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_n=\frac{1}{2}$$

• Применение: Усреднение колебаний частичных сумм.

---

2. Метод Абеля (Пуассона-Абеля)

Рассмотрим числовой ряд ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$. Сопоставим этому числовому ряду степенной ряд с переменной $x$:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

Предположим, что этот степенной ряд сходится для всех $x\in (0,1)$. Если существует левосторонний предел суммы этого ряда при $x\to 1-0$, равный конечному числу $S$:

$$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1-0}{\lim }\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=S$$

то говорят, что исходный ряд суммируем методом Абеля к числу $S$.

• Применение: Аналитическое продолжение степенных рядов.

Вторая теорема Абеля гарантирует регулярность данного метода. Более того, метод Абеля “сильнее” метода Чезаро: любой ряд, суммируемый по Чезаро, будет суммируем и методом Абеля к той же самой сумме.

---

3. Метод Эйлера

Подробнее про этот метод будет расписано в следующем, 33-м билете.

Определение разности $k$-го порядка

Преобразование Эйлера применяется преимущественно к знакочередующимся рядам и позволяет радикально улучшить скорость их сходимости.

Пусть задан сходящийся знакочередующийся ряд:

$$S=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n=a_0-a_1+a_2-a_3+\dots$$

Введём оператор нисходящей конечной разности для последовательности $\{a_n\}$:

• Разность нулевого порядка:

$${\Delta }^0{a}_n=a_n$$

• Разность первого порядка:

$${\Delta }^1{a}_n=a_n-a_{n+1}$$

• Разность $k$-го порядка (определяется рекуррентно):

$${\Delta }^k{a}_n={\Delta }^{k-1}{a}_n-{\Delta }^{k-1}{a}_{n+1}$$ Link to original

Для знакочередующегося ряда ${\sum }_{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{a}_k$ справедливо тождество, называемое преобразованием Эйлера:

$$\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{a}_k=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\Delta }^k{a}_0}{2^{k+1}},$$

Если исходный ряд ${\sum }_{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{a}_k$ расходится, но преобразованный ряд в правой части оказывается сходящимся, то говорят, что исходный ряд суммируем методом Эйлера к числу $S$.

Если рассматривать произвольный числовой ряд $\sum a_n$ (без явного выделения знаков $\pm$), то в качестве обобщенной суммы ряда по методу Эйлера берется обычная сумма ряда:

$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{a_0+C_k^1{a}_1+C_k^2{a}_2+\cdots +C_k^k{a}_k}{2^{k+1}}$$

---

4. Метод Бореля (экспоненциальный метод)

Сопоставим числовому ряду ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ вспомогательный функциональный ряд:

$$B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n!}{x}^n$$

Предположим, что этот ряд (часто называемый суммой Бореля) сходится для всех $x>0$. Если существует несобственный интеграл и он равен конечному числу $S$:

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}B(x)dx=S$$

то говорят, что ряд ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ суммируем методом Бореля к числу $S$.

• Применение: В теории возмущений для квантовых полей.

Формальное обоснование метода Бореля опирается на основное тождество для гамма-функции Эйлера: ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{n}dx=n!$ Если формально внести интеграл под знак суммы, то факториалы сократятся, и мы “получим” исходный ряд $\sum a_n$. Данный метод часто используют для расходящихся рядов, коэффициенты которых растут как $n!$.