Суммы Дарбу и их свойства

Суммы Дарбу и их свойства. Необходимое условие интегрируемости

1. Определение сумм Дарбу

Пусть функция $f(x)$ ограничена на отрезке $[a,b]$, а $\tau$ – некоторое его разбиение $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$. Обозначим точные грани функции на каждом частичном отрезке ${\Delta }_i=[x_{i-1},x_i]$: $M_i={\sup }_{x\in {\Delta }_i}f(x),m_i={\inf }_{x\in {\Delta }_i}f(x)$

• Верхней суммой Дарбу называется величина: $S_{\tau }(f)={\sum }_{i=1}^n{M}_i\Delta x_i$
• Нижней суммой Дарбу называется величина: $s_{\tau }(f)={\sum }_{i=1}^n{m}_i\Delta x_i$

Связь с интегральными суммами: Поскольку на каждом отрезке $m_i\le f({\xi }_i)\le M_i$, для любого оснащения $\xi$ интегральная сумма Римана всегда зажата между суммами Дарбу: $s_{\tau }(f)\le {\sigma }_{\tau }(f,\xi )\le S_{\tau }(f)$

---

2. Свойства сумм Дарбу

Свойство 1. Монотонность при измельчении разбиения Если разбиение ${\tau }_1$ получено из ${\tau }_2$ путем добавления новых точек (то есть ${\tau }_1$ является измельчением ${\tau }_2$, ${\tau }_2\subset {\tau }_1$), то: $s_{{\tau }_2}(f)\le s_{{\tau }_1}(f)\le S_{{\tau }_1}(f)\le S_{{\tau }_2}(f)$ Иными словами: при измельчении разбиения нижние суммы Дарбу не убывают, а верхние — не возрастают.

Свойство 2. Взаимная ограниченность Для любых (даже совершенно независимых) разбиений ${\tau }_1$ и ${\tau }_2$ отрезка $[a,b]$ любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу: $s_{{\tau }_1}(f)\le S_{{\tau }_2}(f)$ (Свойство доказывается переходом к общему измельчению $\tau ={\tau }_1\cup {\tau }_2$ и применением Свойства 1).

---

3. Интегралы Дарбу

Поскольку множество всех нижних сумм Дарбу ограничено сверху (любой верхней суммой), а множество верхних сумм ограничено снизу, существуют их точные грани.

• Нижний интеграл Дарбу — это точная верхняя грань множества всех нижних сумм Дарбу: $I_{\ast }={\sup }_{\tau }{s}_{\tau }(f)$
• Верхний интеграл Дарбу — это точная нижняя грань множества всех верхних сумм Дарбу: $I^{\ast }={\inf }_{\tau }{S}_{\tau }(f)$

Для любой ограниченной функции всегда выполняется неравенство: $I_{\ast }\le I^{\ast }$.

---

4. Необходимое условие интегрируемости

Теорема. Если функция $f(x)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a,b]$, то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство (от противного):

1. Пусть функция $f$ интегрируема на $[a,b]$ (то есть существует конечный предел $I$), но не ограничена (например, сверху).
2. Возьмем любое разбиение $\tau$. Так как функция не ограничена на всем отрезке, она будет не ограничена сверху хотя бы на одном частичном отрезке разбиения ${\Delta }_k$.
3. Будем выбирать точки оснащения ${\xi }_i$. Для всех отрезков, кроме ${\Delta }_k$, выберем точки ${\xi }_i$ произвольно и зафиксируем их. Сумма соответствующих слагаемых даст какую-то константу $C$.
4. На отрезке ${\Delta }_k$, где функция не ограничена, мы можем выбрать точку ${\xi }_k$ так, чтобы значение $f({\xi }_k)$ было сколь угодно большим.
5. Тогда интегральная сумма ${\sigma }_{\tau }(f,\xi )=C+f({\xi }_k)\Delta x_k$ может быть сделана сколь угодно большой по модулю.
6. Это означает, что интегральная сумма не может иметь конечного предела $I$, что противоречит условию интегрируемости. Теорема доказана. $\square$

Замечание: Ограниченность является лишь необходимым, но не достаточным условием. Например, функция Дирихле ($d(x)=1$ для $x\in \mathbb{Q}$, $d(x)=0$ для $x\in \mathbb{I}$) ограничена, но не интегрируема по Риману.