Определение определённого интеграла Римана

Определение определённого интеграла Римана

1. Понятие разбиения и интегральной суммы

Пусть функция $f(x)$ задана на отрезке $[a,b]$. Разбиением $\tau$ отрезка $[a,b]$ называется конечная система точек: $a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b$

• Отрезки $[x_{i-1},x_i]$ называются частичными отрезками разбиения.
• Длина $i$-го отрезка: $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$.
• Мелкость разбиения (или ранг) $\lambda (\tau )$ — это длина наибольшего из частичных отрезков: $\lambda (\tau )={\max }_{1\le i\le n}\Delta x_i$.

Если на каждом отрезке разбиения $[x_{i-1},x_i]$ произвольным образом выбрана точка ${\xi }_i$, то такое разбиение называется оснащенным $(\tau ,\xi )$.

Интегральной суммой Римана для функции $f(x)$, отвечающей оснащенному разбиению $(\tau ,\xi )$, называется сумма: ${\sigma }_{\tau }(f,\xi )={\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$

Геометрический смысл: Если $f(x)\ge 0$, то интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, составленной из $n$ прямоугольников с основаниями $\Delta x_i$ и высотами $f({\xi }_i)$.

---

2. Определение интеграла Римана

Определение (на языке $\epsilon -\delta$): Число $I$ называется определённым интегралом Римана от функции $f$ на отрезке $[a,b]$, если для любого $\epsilon >0$ существует такое $\delta >0$, что для любого оснащенного разбиения $(\tau ,\xi )$ с мелкостью $\lambda (\tau )<\delta$ выполняется неравенство: $|{\sigma }_{\tau }(f,\xi )-I|<\epsilon$

Определение (по Гейне, через последовательности): Число $I$ является интегралом Римана от функции $f$ на $[a,b]$, если для любой последовательности оснащенных разбиений $({\tau }^m,{\xi }^m)$, мелкость которых стремится к нулю ($\lambda ({\tau }^m)\to 0$), соответствующая последовательность интегральных сумм сходится к $I$: ${\lim }_{m\to \infty }{\sigma }_{{\tau }^m}(f,{\xi }^m)=I$

Функция, для которой существует интеграл Римана, называется интегрируемой по Риману на отрезке $[a,b]$ (обозначается $f\in R[a,b]$). Обозначение интеграла: $I={\int }_a^{b}f(x)dx$.

---

3. Пример вычисления по определению

Вычислим интеграл ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ по определению. Разобьем отрезок $[0,1]$ на $n$ равных частей. Длина каждого отрезка $\Delta x_i=\frac{1}{n}$. В качестве точек ${\xi }_i$ выберем сначала правые концы отрезков, а затем и левые.

Transclude of question-7#общий-вид