Площадь, ограниченная параболой. Вычисления Архимеда

Парабола. И сказ о поиске площади

Вычисления Архимеда

По правде говоря, это были не Архимеда вычисления, а скорее всего Ферма, однако в учебниках и на лекциях упомянался именно Архимед. И может быть то, что будет ниже, никак к нему и не относится, на экзамене от Вас попросят скорее всего именно это

Захотелось Архимеду узнать площадь параболы (хотя бы на отрезке от 0 до 1). К сожалению провернуть трюк с объёмом не вышло, так как парабола все же плоская. Но и Архимед был не пальцем деланный, геометр все таки.

Решил он найти площадь параболы хотя бы приблизительно и стал использовать для этого простые геометрические фигуры, площадь которых прекрасно знал(типа прямоугольников).

Разбил Архимед отрезок от 0 до 1 на немного равношироких частей (пусть будет на 10, хотя это число остается тайной покрытой мраком) и задумался: “если я нарисую прямоугольники по делению, то ширины мне этих прямоугольников будут известны, а вот что делать с высотой? Как бы дать такую высоту прямоугольникам, чтобы площадь была близкой?”. И решил он попробовать посчитать по разному. Времени уйдет много, но ему ж за что-то платят.

Сначала Архимед нашел значения параболы в точках стыка:

Затем продлил эти стыки вправо и получил 10 прямоугольников (один просто маленький очень). То же самое Архимед сделал ещё раз, но теперь продлил стыки влево.

А найти площадь этих прямоугольников не тяжело. Для правых получим $S_{н}={\sum }_{i=0}^9\frac{1}{10}\ast {\left(\frac{i}{10}\right)}^2=0.285$ Для левых $S_{в}={\sum }_{i=1}^{10}\frac{1}{10}\ast {\left(\frac{i}{10}\right)}^2=0.385$

Но ведь мы можем пойти дальше и взять больше точек. И чем больше прямоугольников у нас будет, тем больше они будут походить на пространство под параболой.

Общий вид

Так можно быстро придти к формуле площади для общего случая, воспользовавшись тем, что ${\sum }_{i=0}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$¹:

$$S_{н}=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{\left(\frac{i}{n}\right)}^2=\frac{1}{n^3}\sum _{i=1}^{n-1}{i}^2=\frac{1}{n^3}\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$$ $$S_{в}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2=\frac{1}{n^3}\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Нас интересует что происходит с этими площадями, когда $n\to \infty$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{н}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^3}\frac{2n^3\left(1-\frac{1}{n}\right)1\left(1-\frac{1}{2n}\right)}{6}=\frac{1}{3}$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{в}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^3}\frac{2n^{3}1\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)}{6}=\frac{1}{3}$$

В обоих случаях площадь под параболой стремиться к одному значению, что, в целом, ожидаемо.

Таким образом, мы можем с уверенностью сказать, что площадь под параболой на отрезке от 0 до 1 равна $\frac{1}{3}$.

Footnotes

1. док-во формулы можно посмотреть тут: Как посчитать сумму квадратов n первых натуральных чисел? (можете смотреть на x1.5, перематывая простые вещи), ну или же просто доказать индукцией ↩