Интегрирование тригонометрических функций

Интеграл от рациональной функции cos x и sin x

Рассматривается интеграл $\int R(\cos x,\sin x)dx,$ где $R(u,v)=\frac{P(u,v)}{Q(u,v)}$ — рациональная функция от $u$, $v$ ($P$ и $Q$ — многочлены от $u$, $v$).

Случай 1. Один из $P$, $Q$ чётный по $\sin x$, другой нечётный — подстановка $t=\cos x$

НУО $P$ - нечётный, а $Q$ - нечётный. $R$ можно представить в виде $R(\cos x,\sin x)=\frac{P(\cos x,\sin x)}{Q(\cos x,\sin x)}=\frac{M(\cos x,{\sin }^{2}x)\cdot \sin x}{N(\cos x,{\sin }^{2}x)},$где $P(\cos x,\sin x)=M(\cos x,{\sin }^{2}x)\cdot \sin x$, а $Q=N$. Подстановка $t=\cos x$ приводит интеграл к виду \int R(\cos x, \sin x) dx =\int \frac{M(t, 1 - t^2)}{N(t, 1 - t^2)} d(-\cos x)=$$$$ = -\int \frac{M(t, 1 - t^2)}{N(t, 1 - t^2)} dt = \int R(t) dt, где $R(t)$ — рациональная функция от $t$.

---

Случай 2. Один из $P$, $Q$ чётный по $\cos x$, другой нечётный — подстановка $t=\sin x$

Если один из многочленов $P$, $Q$ чётный по $\cos x$, а другой нечётный по $\cos x$, то подстановка $t=\sin x$ рационализирует интеграл.

Доказывается аналогично случаю 1.

---

Случай 3. чётно и по $\cos x$, и по $\sin x$ — подстановка $t=\mathrm{tg}x$

Если $P$ и $Q$ оба не меняются при замене $\cos x,\sin x$ на $-\cos x,-\sin x$ или оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой $t=\mathrm{tg}x$ (или $t=\mathrm{ctg}x$). При $t=\mathrm{tg}x$: ${\sin }^{2}x=\frac{t^2}{1+t^2},dx=\frac{dt}{1+t^2}.$ Интеграл принимает вид $\int \frac{M\left(t,\frac{t^2}{1+t^2}\right)}{N\left(t,\frac{t^2}{1+t^2}\right)(1+t^2)}dt=\int R(t)dt,$ где $R(t)$ — рациональная функция от $t$.

---

Универсальная подстановка $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$

Для любой рациональной функции $R(\cos x,\sin x)$ подстановка

$t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$

рационализирует интеграл. При этом:

$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}.$

Случаи 1–3 предпочтительнее использовать там, где они применимы: подстановки в них проще, а возникающие рациональные функции в итоге ниже степенью.

---

Тригонометрические полиномы

Определение и интегрирование

Функция $T_n(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ называется тригонометрическим полиномом порядка $n$. Её интегрирование элементарно: $\int T_n(x)dx=\frac{a_0}{2}x+{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}(a_k\sin kx-b_k\cos kx)+C.$ Вспомогательные формулы произведений на случай интегрирования произведения косинусов и синусов с разными углами: $\sin \alpha x\sin \beta x=\frac{1}{2}(\cos (\alpha -\beta )x-\cos (\alpha +\beta )x),$ $\sin \alpha x\cos \beta x=\frac{1}{2}(\sin (\alpha -\beta )x+\sin (\alpha +\beta )x),$ $\cos \alpha x\cos \beta x=\frac{1}{2}(\cos (\alpha -\beta )x+\cos (\alpha +\beta )x).$).