Метод Крылова улучшения сходимости ряда Фурье и эталонные тригонометрические ряды

1. Суть метода и математическая идея

Если $2\pi$-периодическая функция $f(x)$ или её производные имеют разрывы первого рода, её коэффициенты Фурье убывают медленно (как $O(1/n)$). Это приводит к плохой сходимости ряда и явлению Гиббса.

Идея А. Н. Крылова: Выделить из функции особенности с помощью вспомогательной функции $f_1(x)$, чей ряд Фурье вычисляется аналитически через эталонные ряды: $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$

• $f_1(x)$ — содержит те же скачки, что и $f(x)$, но коэффициенты ряда Фурье считаются просто
• $f_2(x)=f(x)-f_1(x)$ — регулярный остаток, обладающий высокой гладкостью. Его коэффициенты Фурье убывают быстро (как $O(1/n^2)$ или быстрее), что гарантирует высокую скорость сходимости.

---

2. Реализация через эталонные ряды Бернулли

Пусть функция $f(x)$ на периоде $[0,2\pi ]$ имеет разрывы первого рода в точках $x_1,\dots ,x_q$. Обозначим величину скачка функции в точке $x_j$ как: ${\Delta }_j=f(x_j+0)-f(x_j-0)$ Для конструирования $f_1(x)$ используется периодический многочлен Бернулли $B_1^{\ast }(t)=(t\mathrm{mod}1)-0.5$ Его разложение в ряд является эталонным тригонометрическим рядом скачка: $B_1^{\ast }(t)={\sum }_{\nu =1}^{\infty }\frac{\sin 2\pi \nu t}{-\pi \nu }$

Формула функции разрывов:

Для компенсации скачков самой функции строится выражение: $f_1(x)=-{\sum }_{j=1}^q{B}_1^{\ast }\left(\frac{x-x_j}{2\pi }\right){\Delta }_j={\sum }_{j=1}^q\left({\sum }_{\nu =1}^{\infty }\frac{\sin \nu (x-x_j)}{\pi \nu }\right){\Delta }_j$ Раскрывая синус разности, коэффициенты Фурье для $f_1(x)$ находятся аналитически напрямую без интегрирования: $a_{1,\nu }=-\frac{1}{\pi \nu }{\sum }_{j=1}^q\sin \nu x_j\cdot {\Delta }_j,b_{1,\nu }=\frac{1}{\pi \nu }{\sum }_{j=1}^q\cos \nu x_j\cdot {\Delta }_j$

После вычитания $f_2(x)=f(x)-f_1(x)$, остаток становится непрерывным. Теперь вычислим коэффициенты ряда Фурье не для $f(x$), а для $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$. Для $f_1(x)$ мы их уже знаем (всё ещё убывают медленно, но есть строгая формула), а коэффициенты Фурье $f_2(x)$ $a_{2,\nu (f_2)}$ и $b_{2,\nu }$ - вычисляются стандартно, но убывают значительно быстрее исходных — со скоростью не менее $O(1/{\nu }^2)$, что полностью решает проблему медленной сходимости.

В итоге получим, что $a_i=a_{1,i}+a_{2,i}$ и $b_i=b_{1,i}+b_{2,i}$