Теорема Дирихле
Пусть — -периодическая функция, кусочно-гладкая на отрезке (то есть сама функция и её производная кусочно-непрерывны). Тогда в любой точке её ряд Фурье сходится к значению:
Доказательство:
Шаг 1
Используя интегральные формулы для коэффициентов Фурье, -ю частичную сумму ряда можно свернуть через ядро Дирихле на полуотрезке :
Откуда взялось ядро Дирихле ?
Т.к. , то подставив формулы для , и (и пусть их интегралы будут от ), а тажке воспользовавшись линейностью интеграла, получим: S_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \left[ \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} (\cos(kx)\cos(kt) + \sin(kx)\sin(kt)) \right] dt =$$$$ = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \left[ \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos\bigl(k(t-x)\bigr) \right] dt т.к. Определим оставшуюся сумму как ядро Дирихле: Этот вид можно упростить: Возвращаясь к исходной , получаем: P.S. границы интегрирования остаются на месте, т.к. и -периодичны. Теперь: S_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} f(x+u) D_n(u) \, du + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x+u) D_n(u) \, du = $$$$=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x-t) D_n(-t) \, d(-t) + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x+t) D_n(t) \, dt = С горем пополам сделали это, пора вернуться к самой теореме.
Шаг 2
Интеграл от ядра Дирихле равен , ну или же:
Умножим это равенство на константу :
Шаг 3
Вычтем полусумму односторонних пределов из частичной суммы и объединим их под один интеграл:
=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ \frac{f(x-t) - f(x-0)}{\sin \frac{t}{2}} + \frac{f(x+t) - f(x+0)}{\sin \frac{t}{2}} \right] \cdot $$ $$\cdot \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)t \, dt $$ Разобьем этот интеграл на сумму двух слагаемых: $$ I_1 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} F_1(t) \sin\left((n + \frac{1}{2})t\right) \, dt,$$ $$\quad \text{где } F_1(t) = \frac{f(x-t) - f(x-0)}{\sin \frac{t}{2}} $$ $$ I_2 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} F_2(t) \sin\left((n + \frac{1}{2})t\right) \, dt, \quad$$ $$\text{где } F_2(t) = \frac{f(x+t) - f(x+0)}{\sin \frac{t}{2}} $$ #### Шаг 4 Чтобы применить лемму Римана — Лебега, нужно доказать, что функции $F_1(t)$ и $F_2(t)$ локально интегрируемы на $(0, \pi)$. Единственная возможная проблема — точка $t \to +0$, где знаменатель обращается в нуль. Исследуем предел функции $F_2(t)$ при $t \to +0$: $$ \lim_{t \to +0} F_2(t) = \lim_{t \to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{\sin \frac{t}{2}} = $$ $$=\lim_{t \to +0} \left[ \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t} \cdot \frac{t}{\sin \frac{t}{2}} \right] $$ По определению правого предела производной и первому замечательному пределу ($\lim_{t\to0} \frac{t}{\sin(t/2)} = 2$): $$ \lim_{t \to +0} F_2(t) = f'_+(x) \cdot 2 = 2f'_+(x) $$ Так как функция $f(x)$ кусочно-гладкая, односторонняя производная $2f'_+(x)$ является конечным числом. Следовательно, функция $F_2(t)$ ограничена в окрестности нуля. На остальном промежутке $[\delta, \pi]$ она непрерывна, а значит, абсолютно интегрируема ($F_2 \in R_{loc}(0, \pi]$). Аналогично для первой функции: $\lim_{t \to +0} F_1(t) = -2f'_-(x)$, откуда следует, что $F_1 \in R_{loc}(0, \pi]$. #### Шаг 5 Поскольку функции $F_1(t)$ и $F_2(t)$ абсолютно интегрируемы, мы можем применить к интегралам $I_1$ и $I_2$ лемму Римана-Лебега для осциллирующего множителя при частоте $\lambda = n + \frac{1}{2} \to +\infty$: $$ \lim_{n \to \infty} I_1 = 0 \quad \text{и} \quad \lim_{n \to \infty} I_2 = 0 $$ Следовательно, разность стремится к нулю: $$ \lim_{n \to \infty} \left( S_n(x) - \frac{f(x+0) + f(x-0)}{2} \right) = 0 \implies$$ $$\implies \lim_{n \to \infty} S_n(x) = \frac{f(x+0) + f(x-0)}{2} $$