Разложение по системе тригонометрических функций, удовлетворяющих граничному условию третьего рода в одной из граничных точек отрезка

(но так я ваще не вдупляю вопрос) Ссылки на Notion: - Ссылки на другие источники: Фихтенгольц 3 том.pdf Пискунов том 2.pdf

Постановка задачи В прикладных задачах (например, при остывании стержня длины $l$) на границах отрезка $\text{[0, l]}$ возникают специфические условия.

Граничное условие третьего рода описывает естественный теплообмен торца с окружающей средой и связывает значение функции с её производной.

Рассмотрим краевую задачу Штурма — Лиувилля на отрезке $\text{[0, l]}$:

• Дифференциальное уравнение:

$$X^{\prime \prime }(x)+\lambda X(x)=0\forall x\in \text{(0, l)}$$

• На левом конце — условие I рода (закреплено на нуле):

$$X(0)=0$$

• На правом конце — условие III рода (теплообмен):

$$X^{\prime }(l)+H\cdot X(l)=0(H>0)$$

---

Общее решение уравнения при условии $X(0)=0$ ищется в виде синусоиды:

$$X(x)=C\cdot \sin (\sqrt{\lambda }x)$$

Подставим его в условие третьего рода при $x=l$:

$$C\sqrt{\lambda }\cos (\sqrt{\lambda }l)+H\cdot C\sin (\sqrt{\lambda }l)=0$$

Сокращая на $C$ и разделяя переменные, получаем трансцендентное характеристическое уравнение:

$$\mathrm{tg}(\sqrt{\lambda }l)=-\frac{\sqrt{\lambda }}{H}$$

Если ввести замену $\xi =\sqrt{\lambda }l$, уравнение примет канонический вид:

$$\mathrm{tg}\xi =c\xi \text{где }c=-\frac{1}{H\cdot l}<0$$

Это уравнение решается графически имеет бесконечное множество дискретных положительных корней:

$${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n,\dots$$

Каждому корню соответствует собственная функция тригонометрической системы: $X_n(x)=\sin \left(\frac{{\xi }_{n}x}{l}\right)\forall n\in \mathbb{N}$ Частоты этой системы не являются целыми числами, в отличие от классического ряда Фурье.

---

Методом интегрирования по частям доказывается, что полученная система функций обладает свойством попарной ортогональности на отрезке $\text{[0, l]}$:

$${\int }_0^l\sin \left(\frac{{\xi }_{n}x}{l}\right)\sin \left(\frac{{\xi }_{m}x}{l}\right)dx=0\forall n\ne m$$

Благодаря свойству ортогональности, любую кусочно-непрерывную функцию $f(x)$ можно разложить в обобщенный ряд Фурье по этим синусам:

$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{c}_n\sin \left(\frac{{\xi }_{n}x}{l}\right)$$

Коэффициенты разложения $c_n$ определяются по стандартному обобщенному правилу Эйлера — Фурье:

$$c_n=\frac{{\int }_0^{l}f(x)\sin \left(\frac{{\xi }_{n}x}{l}\right)dx}{{\int }_0^l{\sin }^2\left(\frac{{\xi }_{n}x}{l}\right)dx}$$

Знаменатель вычисляется через формулу понижения степени синуса:

$${\lambda }_n={\int }_0^l{\sin }^2\left(\frac{{\xi }_{n}x}{l}\right)dx=\frac{l}{2}\left(1-\frac{\sin (2{\xi }_n)}{2{\xi }_n}\right)$$

Тогда ${с}_n$ примет вид:

$$c_n=\frac{2}{l\left(1-\frac{\sin (2{\xi }_n)}{2{\xi }_n}\right)}{\int }_0^{l}f(x)\sin \left(\frac{{\xi }_{n}x}{l}\right)dx$$

После применения к функции правила полусуммы на стыках разрывов, данный ряд тождественно совпадает с исходной функцией:

$$f(x)\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{c}_n\sin \left(\frac{{\xi }_{n}x}{l}\right)\forall x\in \text{[a, b]}$$