Скалярное произведение функций. Ег свойства. Ряды Фурье

Скалярное произведение функций. Его свойства. Ряды Фурье

1. Скалярное произведение и его свойства

Определение: Пусть $K$ — линейное пространство над полем вещественных чисел $\mathbb{R}$. Скалярным произведением в пространстве $K$ называется отображение

$$(\cdot ,\cdot ):K\times K\to \mathbb{R},$$

которое сопоставляет каждой упорядоченной паре элементов $(f,g)\in K\times K$ вещественное число $(f,g)\in \mathbb{R}$ и удовлетворяет следующим аксиомам:

1. $(f,g)=(g,f)$ (симметричность)
2. $(\alpha f+\beta g,h)=\alpha (f,h)+\beta (g,h)$ (линейность)
3. $(f,f)\ge 0$

Формула скалярного произведения функций: Для пространства интегрируемых (или непрерывных) на отрезке $[a,b]$ функций стандартное скалярное произведение задается как:

$$(f,g)={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$$

Доказательство свойств для функций: Выполнение аксиом 1 и 2 напрямую вытекает из линейных свойств определенного интеграла. Аксиома 3:

$${\int }_a^b{f}^2(x)dx\ge {\int }_a^{b}0\cdot dx=0$$

Откуда следует, что $(f,f)\ge 0$, ч.т.д.

2. Ортогональность и норма элементов

Ортогональность Элементы $f,g\in K$ линейного пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

$$(f,g)=0$$

Норма: Нормой в пространстве $K$ называется отображение $\Vert \cdot \Vert :K\to \mathbb{R}$, задаваемое формулой:

$$\Vert f\Vert =\sqrt{(f,f)}=\sqrt{{\int }_a^b{f}^2(x)dx}$$

Ортогональная система функций: Система функций ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots$ называется ортогональной на отрезке $[a,b]$, если их скалярное произведение равно нулю для любых несовпадающих индексов:

$$({\phi }_m,{\phi }_n)=0\forall m\ne n$$

Если дополнительно скалярный квадрат (квадрат нормы) каждого элемента равен единице, то система называется ортонормированной:

$$({\phi }_n,{\phi }_n)=1\forall n\in \mathbb{N}$$

---

3. Ряды Фурье

Пусть в линейном пространстве $K$ со скалярным произведением задана ортогональная система ненулевых функций $\{{\phi }_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ (то есть $\Vert {\phi }_n\Vert \ne 0$ для всех $n\in \mathbb{N}$).

Тогда Рядом Фурье функции $f\in K$ по системе $\{{\phi }_n\}$ называется ряд:

$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{\phi }_n(x)$$

где коэффициенты Фурье $c_n$ вычисляются по формуле:

$$c_n=\frac{(f,{\phi }_n)}{({\phi }_n,{\phi }_n)}=\frac{(f,{\phi }_n)}{\Vert {\phi }_n{\Vert }^2}$$

Замечание: Знак тильды ($\sim$) означает, что ряду формально сопоставляется функция $f(x)$. Поточечная сходимость ряда к самой функции требует дополнительных условий (например, гладкости).

Вывод формулы коэффициентов:

Предположим, что функция $f$ может быть представлена в виде сходящегося ряда:

$$f=\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{\phi }_n$$

Скалярно умножим обе части этого равенства на фиксированный элемент системы ${\phi }_k$:

$$(f,{\phi }_k)=\left(\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{\phi }_n,{\phi }_k\right)$$

В силу линейности скалярного произведения мы можем вынести знак суммы и коэффициенты за скобки:

$$(f,{\phi }_k)=\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n({\phi }_n,{\phi }_k)$$

Поскольку система $\{{\phi }_n\}$ ортогональна, абсолютно все слагаемые вида $c_n({\phi }_n,{\phi }_k)$ при $n\ne k$ обратятся в ноль. Выражение примет вид:

$$(f,{\phi }_k)=c_k({\phi }_k,{\phi }_k)$$

Откуда выражением $c_k$ и получается искомая формула.