Теорема о разложении правильной дроби на простейшие

Теорема о разложении правильной дроби на простейшие

Теорема

Пусть $P(x)/Q(x)$ — правильная дробь ($\mathrm{deg}P<\mathrm{deg}Q$), знаменатель разложен над $\mathbb{R}$:

$$Q(x)=(x-a_1{)}^{k_1}\cdots (x-a_r{)}^{k_r}\cdot (x^2+p_{1}x+q_1{)}^{{\ell }_1}\cdots$$

где $p_j^2-4q_j<0$. Тогда существует единственное представление:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^{k_i}\frac{A_{ij}}{(x-a_i{)}^j}+\sum _{u=1}^s\sum _{v=1}^{{\ell }_u}\frac{B_{uv}x+C_{uv}}{(x^2+p_{u}x+q_u{)}^v}.$$

Лемма 1 (вещественный корень)

Если $Q(x)=(x-a{)}^k\tilde{Q}(x)$, $\tilde{Q}(a)\ne 0$, то

$$\frac{P}{Q}=\frac{A}{(x-a{)}^k}+\frac{\tilde{P}}{(x-a{)}^{k-1}\tilde{Q}},$$

причём $A$ и $\tilde{P}$ определяются единственным образом.

Доказательство

Существование: выберем $A=P(a)/\tilde{Q}(a)$. Тогда $P(x)-A\tilde{Q}(x)$ обращается в нуль при $x=a$, значит делится на $(x-a)$:

$$P(x)-A\tilde{Q}(x)=(x-a)\tilde{P}(x)$$ $$\frac{P}{Q}=\frac{A}{(x-a{)}^k}+\frac{\tilde{P}}{(x-a{)}^{k-1}\tilde{Q}},ч.т.д.$$

Единственность: если бы $A_1\ne A_2$, то подстановка $x=a$ в тождество даёт $(A_1-A_2)\tilde{Q}(a)=0$ — противоречие.

Лемма 2 (квадратичный множитель)

Если $Q(x)=(x^2+px+q{)}^k\tilde{Q}(x)$, $p^2-4q<0$, то

$$\frac{P}{Q}=\frac{Bx+C}{(x^2+px+q{)}^k}+\frac{\tilde{P}}{(x^2+px+q{)}^{k-1}\tilde{Q}}.$$

Коэффициенты $B$, $C$ находятся подстановкой комплексного корня $\alpha +i\beta$ квадратного трёхчлена (два вещественных уравнения на вещественную и мнимую части). Единственность аналогична лемме 1.

Доказательство теоремы (индукция по $\mathrm{deg}Q$)

База: $\mathrm{deg}Q=1$, дробь уже простейшая.

Шаг: пусть утверждение верно для степеней $<n$, $\mathrm{deg}Q=n$.

• Если $Q$ имеет вещественный корень $a$ кратности $k$: по лемме 1 выделяем $A/(x-a{)}^k$, остаток $\tilde{P}/[(x-a{)}^{k-1}\tilde{Q}]$ имеет знаменатель степени менее $n$ — по индукции раскладывается.
• Если у $Q$ нет вещественных корней, то по лемме 2 выделяем $(Bx+C)/(x^2+px+q{)}^k$, остаток — аналогично.

Единственность на каждом шаге гарантирована леммами.

Следствие: интеграл от любой рациональной дроби выражается в элементарных функциях.