Теорема Абеля о области сходимости степенного ряда

Теорема Абеля об области сходимости степенного ряда

Степенной ряд с центром $a$ и коэффициентами $c_n$:

$$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(x-a{)}^n.$$

Замена $t=x-a$ сводит к $\sum c_n{x}^n$, поэтому без ограничения общности работаем с центром в нуле.

Теорема Абеля

Если ряд ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n$ сходится в точке $x_0\ne 0$, то:

1. он сходится абсолютно в каждой точке $x$ с $|x|<|x_0|$;
2. он сходится равномерно на любом отрезке $[-r,r]$, $r<|x_0|$.

Доказательство

Из сходимости ряда в $x_0$ следует $c_n{x}_0^n\to 0$, значит $|c_n{x}_0^n|\le M$ для некоторого $M>0$.

• П. 1. Положим $q=|x|/|x_0|<1$. Тогда:

$$|c_n{x}^n|=|c_n{x}_0^n|\cdot {\left|\frac{x}{x_0}\right|}^n\le M{q}^n.$$

Ряд $\sum M{q}^n$ сходится — по признаку сравнения $\sum |c_n{x}^n|<\infty$.

• П. 2. Для $|x|\le r$ положим $q_0=r/|x_0|<1$. Тогда $|c_n{x}^n|\le M{q}_0^n$ для всех $x\in [-r,r]$ одновременно. Ряд $\sum M{q}_0^n$ сходится и не зависит от $x$ — по признаку Вейерштрасса сходимость равномерная.

Радиус сходимости

Для любого степенного ряда существует $R\in [0,+\infty ]$ — радиус сходимости — такой, что:

• при $|x|<R$ ряд сходится абсолютно;
• при $|x|>R$ ряд расходится;
• при $|x|=R$ поведение определяется отдельно.

Формула Коши–Адамара:

$$R=\frac{1}{\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|c_n|}}.$$

Доказательство

Применяем радикальный признак Коши к $\sum |c_n{x}^n|$:

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|c_n{x}^n|}=|x|\cdot \underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|c_n|}.$$

Ряд сходится абсолютно при этом выражении $<1$, т.е. при $|x|<R$, и расходится при $|x|>R$.

Следствия

Пусть $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n$, $|x|<R$.

1. Непрерывность. $f$ непрерывна на $(-R,R)$.

Доказательство: для любой точки $x$ выберем $r$ с $|x|<r<R$. По теореме Абеля ряд сходится равномерно на $[-r,r]$, каждый член непрерывен — сумма непрерывна. $\square$

2. Почленное интегрирование. Для $[a,b]\subset (-R,R)$:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{c_n}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1}).$$

Доказательство: равномерная сходимость на $[a,b]$ позволяет переставить сумму и интеграл.

3. Почленное дифференцирование. $f$ дифференцируема на $(-R,R)$, причём:

$$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{c}_n{x}^{n-1},|x|<R.$$

Дифференцированный ряд имеет тот же радиус $R$: поскольку $n^{1/n}\to 1$, формула Коши–Адамара даёт $R^{\prime }=R$. Равномерная сходимость ряда производных на любом $[-r,r]\subset (-R,R)$ обеспечивает законность почленного дифференцирования.