Бесконечные произведения. Связь с рядами. Абсолютная и условная сходимость

1. Определение бесконечного произведения

Пусть задана числовая последовательность $\{e_n{\}}_{n=1}^{\infty }$. Выражение вида

$$\prod _{n=1}^{\infty }{e}_n=e_1\cdot e_2\cdot \cdots \cdot e_n\cdot \dots$$

называется бесконечным произведением.

Для придания строгого математического смысла рассматривают последовательность частичных произведений:

$${\Pi }_n=\prod _{k=1}^n{e}_k=e_1\cdot e_2\cdot \cdots \cdot e_n$$

Бесконечное произведение называется сходящимся, если последовательность частичных произведений $\{{\Pi }_n\}$ имеет конечный предел $\Pi$, отличный от нуля:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\Pi }_n=\Pi \ne 0$$

В этом случае пишут ${\prod }_{n=1}^{\infty }{e}_n=\Pi$.

Если предел ${\Pi }_n$ не существует, равен нулю или бесконечности, то бесконечное произведение называется расходящимся.

Требование $\Pi \ne 0$ в определении сходимости исключает тривиальные случаи обращения произведения в нуль и обеспечивает корректность операции логарифмирования.

Необходимое условие сходимости

Если бесконечное произведение $\prod e_n$ сходится, то предел его общего члена равен единице:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{e}_n=1$$

Доказательство:

• Так как ${\Pi }_n\to \Pi \ne 0$, то и ${\Pi }_{n-1}\to \Pi \ne 0$.
• Выразим общий член: $e_n=\frac{{\Pi }_n}{{\Pi }_{n-1}}$.
• По теореме о пределе частного:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{e}_n=\frac{{\lim }_{n\to \infty }{\Pi }_n}{{\lim }_{n\to \infty }{\Pi }_{n-1}}=\frac{\Pi }{\Pi }=1$$

В связи с этим необходимым условием общий член бесконечного произведения принято записывать в виде: $e_n=1+{\alpha }_n,\text{где}{\lim }_{n\to \infty }{\alpha }_n=0$

---

2. Связь бесконечных произведений с числовыми рядами

Исследование сходимости бесконечных произведений сводится к исследованию числовых рядов с помощью логарифмирования.

Основная теорема о связи

Пусть все члены последовательности положительны: $e_n>0$ для всех $n$. Тогда бесконечное произведение ${\prod }_{n=1}^{\infty }{e}_n$ сходится в том и только том случае, когда сходится числовой ряд:

$$\sum _{n=1}^{\infty }\ln e_n$$

Доказательство:

• Обозначим $L_n={\sum }_{k=1}^n\ln e_k$ — частичную сумму логарифмического ряда.
• В силу свойств логарифма: $L_n=\ln \left({\prod }_{k=1}^n{e}_k\right)=\ln {\Pi }_n$.
• Так как логарифм непрерывен и взаимно-однозначно отображает $(0,\infty )$ на $\mathbb{R}$, то ${\Pi }_n\to \Pi \in (0,\infty )$ тогда и только тогда, когда $L_n\to \ln \Pi \in \mathbb{R}$.
• Следовательно, сходимость $\{{\Pi }_n\}$ равносильна сходимости $\{L_n\}$, то есть сходимости ряда $\sum \ln e_n$.

Связь для произведений вида $\prod (1+{\alpha }_n)$

На практике наиболее важен случай, когда общий член представлен в виде $1+{\alpha }_n$.

Теорема (для знакопостоянных ${\alpha }_n$). Пусть все ${\alpha }_n$ имеют один и тот же знак (все ${\alpha }_n\ge 0$ или все ${\alpha }_n\le 0$) и ${\alpha }_n>-1$ для всех $n$. Тогда бесконечное произведение ${\prod }_{n=1}^{\infty }(1+{\alpha }_n)$ сходится в том и только том случае, когда сходится числовой ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{\alpha }_n$

Доказательство:

• По необходимому условию сходимости произведения, если оно сходится, то ${\alpha }_n\to 0$.
• Рассмотрим ряд $\sum \ln (1+{\alpha }_n)$. Из формулы Тейлора при ${\alpha }_n\to 0$ имеем асимптотическую эквивалентность: $$\ln (1+{\alpha }_n)\sim {\alpha }_n\text{при}n\to \infty$$
• По условию все ${\alpha }_n$ одного знака, поэтому ряды $\sum \ln (1+{\alpha }_n)$ и $\sum {\alpha }_n$ являются знакопостоянными.
• Для знакопостоянных рядов применим предельный признак сравнения: из ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln (1+{\alpha }_n)}{{\alpha }_n}=1\in (0,+\infty )$ следует, что оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
• По основной теореме о связи, сходимость ряда $\sum \ln (1+{\alpha }_n)$ равносильна сходимости произведения $\prod (1+{\alpha }_n)$.

---

3. Абсолютная и условная сходимость

Абсолютная сходимость

Бесконечное произведение ${\prod }_{n=1}^{\infty }(1+{\alpha }_n)$ называется абсолютно сходящимся, если сходится произведение абсолютных величин:

$$\prod _{n=1}^{\infty }(1+|{\alpha }_n|)$$

Исходя из теоремы о связи для знакоположительных рядов, сходимость произведения $\prod (1+|{\alpha }_n|)$ равносильна сходимости ряда $\sum |{\alpha }_n|$. Таким образом, абсолютная сходимость произведения $\prod (1+{\alpha }_n)$ эквивалентна абсолютной сходимости ряда $\sum {\alpha }_n$.

Свойства абсолютно сходящихся произведений

Теорема. Абсолютно сходящееся бесконечное произведение сходится (в обычном смысле).

Доказательство:

• Пусть произведение $\prod (1+{\alpha }_n)$ абсолютно сходится. Тогда сходится ряд $\sum |{\alpha }_n|$.
• Из сходимости $\sum |{\alpha }_n|$ следует, что $|{\alpha }_n|\to 0$, а значит, и ${\alpha }_n\to 0$.
• При достаточно больших $n$ (когда $|{\alpha }_n|<1/2$) справедлива оценка: $$|\ln (1+{\alpha }_n)|\le 2|{\alpha }_n|$$
• Поскольку ряд $\sum |{\alpha }_n|$ сходится, по признаку сравнения сходится и ряд $\sum |\ln (1+{\alpha }_n)|$, то есть ряд $\sum \ln (1+{\alpha }_n)$ сходится абсолютно.
• Абсолютная сходимость числового ряда влечёт его обычную сходимость.
• По основной теореме о связи, сходимость ряда $\sum \ln (1+{\alpha }_n)$ даёт сходимость произведения $\prod (1+{\alpha }_n)$.

Следствие. В абсолютно сходящемся произведении члены можно переставлять произвольным образом — его сумма (значение произведения) от этого не изменится.

Условная сходимость

Бесконечное произведение ${\prod }_{n=1}^{\infty }(1+{\alpha }_n)$ называется условно сходящимся, если оно сходится (существует конечный ненулевой предел), но ряд $\sum |{\alpha }_n|$ расходится.