Теорема Римана о сумме условно сходящегося ряда

Теорема Римана о сумме условно сходящегося ряда

Идея: Если ряд сходится абсолютно, то любая перестановка его членов не меняет его сумму. Для условно сходящихся рядов это свойство радикально нарушается, что и описывает данная теорема.

Пусть ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$ сходится условно. Тогда для любого заданного числа $S\in \mathbb{R}$ (а также для $S=\pm \infty$) существует такая перестановка членов ряда (биекция $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$), что переставленный ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_{\phi (k)}$ сходится к сумме $S$. (Более того, существует перестановка, при которой ряд не имеет суммы вообще).

Доказательство (для конечного $S\in \mathbb{R}$)

1. Подготовка: Выделим из ряда $\sum a_k$ две подпоследовательности:

• $a_k^{+}$ — состоящую только из строго положительных членов.
• $a_k^{-}$ — состоящую только из строго отрицательных членов.

Поскольку исходный ряд сходится условно (то есть сам сходится, но ряд из модулей расходится), докажем, что ряды из положительных и отрицательных членов в отдельности расходятся к бесконечности. Заметим, что $a_k^{+}=\frac{|a_k|+a_k}{2}$. При суммировании мы получаем $\frac{1}{2}\sum |a_k|+\frac{1}{2}\sum a_k$. Так как $\sum a_k$ — конечное число, а $\sum |a_k|=+\infty$ (из-заусловной сходимости), их сумма равна $+\infty$. Аналогично для $a_k^{-}$. Следовательно:

$$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k^{+}=+\infty ,\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k^{-}=-\infty .$$

Запас положительных и отрицательных членов бесконечен. При этом, так как исходный ряд сходится, выполнено необходимое условие сходимости: $a_k\to 0$.

2. Алгоритм перестановки: Пусть для определенности задано число $S>0$. Будем строить новую последовательность частичных сумм ${\tilde{S}}_n$.

• Шаг 1: Берем наименьшее число $p_1$ положительных членов $a_k^{+}$ так, чтобы их сумма впервые превысила или стала равной $S$: ${\sum }_{k=1}^{p_1-1}{a}_k^{+}<S\le {\sum }_{k=1}^{p_1}{a}_k^{+}$
• Шаг 2: К полученной сумме начинаем прибавлять новые отрицательные члены $a_k^{-}$. Берем их наименьшее число $q_1$ так, чтобы общая сумма впервые стала строго меньше $S$: ${\sum }_{k=1}^{p_1}{a}_k^{+}+{\sum }_{k=1}^{q_1-1}{a}_k^{-}\ge S>{\sum }_{k=1}^{p_1}{a}_k^{+}+{\sum }_{k=1}^{q_1}{a}_k^{-}$

Далее процесс циклически повторяется: мы снова прибавляем новые положительные члены, пока сумма не станет $\ge S$, затем новые отрицательные — пока не станет $<S$, и так далее до бесконечности. Этот процесс никогда не оборвется, так как запасы сумм в подрядах бесконечны, и мы всегда сможем перешагнуть через барьер $S$.

3. Обоснование сходимости: Необходимо доказать, что построенная последовательность ${\tilde{S}}_n$ сходится к $S$. Рассмотрим произвольное $n$. В этот момент мы находимся внутри какого-то $l$-го цикла алгоритма (например, прибавляем положительные члены, стремясь пересечь барьер $S$). Поскольку внутри цикла мы двигаемся в одном направлении вплоть до пересечения $S$, расстояние от ${\tilde{S}}_n$ до $S$ не может превышать длины самого большого «шага» на этом участке.

То есть для любого $n$ справедливо неравенство:

$$0\le |{\tilde{S}}_n-S|\le |a_m|$$

где $a_m$ — это элемент исходного ряда, который осуществил перелет через барьер $S$ на текущем или предыдущем шаге. Причём $m\ge n$. Так как общий член исходного ряда стремится к нулю ($a_m\to 0$ при $m\to \infty$), то ограничивающая сверху величина также стремится к нулю.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }|{\tilde{S}}_n-S|=0⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{\tilde{S}}_n=S.$$

Теорема доказана.

Замечания о пограничных случаях ($S=0$, $S=\pm \infty$ и отсутствие предела)

1. Случай $S=0$: первый шаг будет добавить одно $a_1$. Далее по алгоритму.
2. Случай $S=+\infty$ (аналогично для $-\infty$): Мы берем положительные члены $a_k^{+}$, пока их сумма не превысит $1$, после чего добавляем ровно один отрицательный член $a_1^{-}$. Затем снова берем положительные члены, пока сумма не превысит $2$, и добавляем ровно один отрицательный член $a_2^{-}$, и так далее. На каждом $M$-ом шаге мы гарантированно преодолеваем барьер $M\in \mathbb{N}$ (поскольку $\sum a_k^{+}=+\infty$), а добавление строго по одному отрицательному члену гарантирует, что мы задействуем все элементы исходного ряда (выполним биекцию), но при этом их затухающие вкрапления не смогут остановить рост суммы к $+\infty$.
3. Случай отсутствия предела: Мы можем настроить алгоритм так, чтобы частичные суммы бесконечно совершали колебания между двумя разными барьерами (например, $0$ и $1$), поочередно перелетая то через один, то через другой. В этом случае у переставленного ряда не будет существовать предела частичных сумм вообще.