Условная и абсолютная сходимость. Признак Лейбница

Условная и абсолютная сходимость. Признак Лейбница

Определения

• Ряд $\sum a_k$ сходится абсолютно, если сходится $\sum |a_k|$.
• Ряд $\sum a_k$ сходится условно, если он сходится, но $\sum |a_k|$ расходится.

Теорема (абсолютная сходимость влечёт сходимость)

Доказательство

Так как $\sum |a_k|$ сходится, по критерию Коши:

$$\forall \epsilon >0\exists n_0:\forall n>n_0,p\in \mathbb{N}:\sum _{k=n+1}^{n+p}|a_k|<\epsilon .$$

Тогда

$$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}{a}_k\right|\le \sum _{k=n+1}^{n+p}|a_k|<\epsilon ,$$

значит, критерий Коши выполнен и для $\sum a_k$.

Признак Лейбница

Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^{k-1}{a}_k$, где $a_k\ge 0$ и $a_k$ монотонно стремится к нулю, сходится.

Доказательство

• $S_{2n}={\sum }_{k=1}^n(a_{2k-1}-a_{2k})$ не убывает, т.к. $a_{2k-1}\ge a_{2k}$.
• $S_{2n}=a_1-(a_2-a_3)-\cdots -a_{2n}\le a_1$, значит, $S_{2n}$ ограничена сверху.
• По теореме Вейерштрасса $S_{2n}\to S$.
• $S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}\to S$, т.к. $a_{2n+1}\to 0$.

Оценка остатка: $|R_n|\le a_{n+1}$, причём $R_n$ и $(-1{)}^n$ имеют одинаковый знак.