Усиленные признаки сходимости рядов: Куммера, Раабе, Бертрана, Гаусса

Усиленные признаки сходимости рядов

1. Признак Куммера

Пусть $a_k,b_k>0$, ряд $\sum \frac{1}{b_k}$ расходится и $l={\lim }_{k\to \infty }\left(b_k\frac{a_k}{a_{k+1}}-b_{k+1}\right)$.

• $l>0⟹$ ряд $\sum a_k$ сходится;
• $l<0⟹$ ряд $\sum a_k$ расходится.

Доказательство:

• Случай $l>0$. Выберем $r\in (0,l)$. С некоторого $k_0$: $$b_k\frac{a_k}{a_{k+1}}-b_{k+1}\ge r⟹b_k{a}_k-b_{k+1}{a}_{k+1}\ge r{a}_{k+1}>0$$ Последовательность $b_k{a}_k$ убывает и ограничена снизу нулём $⟹$ имеет предел $A\ge 0$. Суммируем от $k_0$ до $n-1$ (телескопическая сумма сократится): $$r\sum _{k=k_0}^{n-1}{a}_{k+1}\le \sum _{k=k_0}^{n-1}(b_k{a}_k-b_{k+1}{a}_{k+1})=$$ $$=b_{k_0}{a}_{k_0}-b_n{a}_n\le b_{k_0}{a}_{k_0}-A$$ Частичные суммы ограничены сверху $⟹$ ряд сходится.

---

• Случай $l<0$.
  С некоторого $k_0$: $b_k\frac{a_k}{a_{k+1}}-b_{k+1}<0⟹b_{k+1}{a}_{k+1}>b_k{a}_k$. Последовательность возрастает и $b_k{a}_k\ge b_{k_0}{a}_{k_0}⟹a_k\ge \frac{\text{const}}{b_k}$. Так как $\sum \frac{1}{b_k}$ расходится, по признаку сравнения $\sum a_k$ расходится.

---

2. Признак Раабе

Тот же признак Куммера при $b_k=k$, но тут $l_{new}=l+1$

Пусть $a_k>0$ и $l={\lim }_{k\to \infty }k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)$.

• $l>1⟹\sum a_k$ сходится;
• $l<1⟹\sum a_k$ расходится.

Доказательство:

Подставим $b_k=k$ в предел Куммера (обозначим его $L$):

$$L=\underset{k\to \infty }{\lim }\left(k\frac{a_k}{a_{k+1}}-(k+1)\right)=\underset{k\to \infty }{\lim }\left[k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)-1\right]=l-1$$

Условие Куммера $L>0⟹l>1$. Условие Куммера $L<0⟹l<1$.

---

3. Признак Бертрана (Куммер при $b_k=k\ln k$)

Пусть $a_k>0$ и $l={\lim }_{k\to \infty }\ln k\cdot \left(k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)-1\right)$.

• $l>1⟹\sum a_k$ сходится;
• $l<1⟹\sum a_k$ расходится.

Доказательство:

1. Ряд $\sum \frac{1}{k\ln k}$ расходится, т.к. по теореме Лагранжа $\ln \ln (k+1)-\ln \ln k\sim \frac{1}{k\ln k}$, а телескопическая сумма приращений стремится к $+\infty$.
2. Подставим $b_k=k\ln k$ в предел Куммера, используя $\ln (k+1)=\ln k+\frac{1}{k}+O(\frac{1}{k^2})$: $$L=\underset{k\to \infty }{\lim }\left(k\ln k\frac{a_k}{a_{k+1}}-(k+1)\left[\ln k+\frac{1}{k}+O\left(\frac{1}{k^2}\right)\right]\right)=$$ $$=\underset{k\to \infty }{\lim }\left(\ln k\left[k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)-1\right]-1+O\left(\frac{1}{k}\right)\right)=l-1$$

Как и в Раабе: $L>0⟹l>1$ и $L<0⟹l<1$.

---

4. Признак Гаусса

Пусть отношение членов представимо в виде:

$$\frac{a_k}{a_{k+1}}=\lambda +\frac{\mu }{k}+\frac{{\theta }_k}{k^{1+\gamma }},\text{где }|{\theta }_k|\le C,\gamma >0.$$

Тогда:

• $\lambda >1⟹$ сходится, $\lambda <1⟹$ расходится.
• $\lambda =1,\mu >1⟹$ сходится.
• $\lambda =1,\mu \le 1⟹$ расходится.

Доказательство:

• Случай $\lambda \ne 1$.
  $\lim \frac{a_k}{a_{k+1}}=\lambda ⟹\lim \frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{1}{\lambda }$. По признаку Даламбера сходится при $\frac{1}{\lambda }<1⟹\lambda >1$, расходится при $\lambda <1$.

---

• Случай $\lambda =1,\mu \ne 1$.
  Применяем признак Раабе: $$l=\underset{k\to \infty }{\lim }k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)=\underset{k\to \infty }{\lim }k\left(1+\frac{\mu }{k}+\frac{{\theta }_k}{k^{1+\gamma }}-1\right)=\mu$$ По Раабе сходится при $\mu >1$, расходится при $\mu <1$.

---

• Случай $\lambda =1,\mu =1$.
  Применяем признак Бертрана: $$l=\underset{k\to \infty }{\lim }\ln k\cdot \left(k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)-1\right)=\underset{k\to \infty }{\lim }\ln k\cdot \left(k\left(\frac{1}{k}+\frac{{\theta }_k}{k^{1+\gamma }}\right)-1\right)=$$ $$=\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{{\theta }_k\ln k}{k^{\gamma }}=0$$ Так как $l=0<1$, по Бертрану ряд расходится (что закрывает и все $\mu \le 1$).