Признаки Даламбера, Коши (радикальный) и МакЛорена (интегральный)

Радикальный признак Коши

Пусть $a_k>0$ и ${\overline{\lim }}_{k\to \infty }\sqrt[k]{a_k}=l\in [0,+\infty ]$. Тогда:

1. Если $l<1$, то ряд $\sum a_k$ сходится.
2. Если $l>1$, то ряд $\sum a_k$ расходится. (При $l=1$ признак ответа не дает).

Доказательство

• ”$l<1$: Выберем $q$ так, что $l<q<1$. По свойству верхнего предела, с некоторого номера $k_0$ выполняется $\sqrt[k]{a_k}<q$, откуда $a_k<q^k$. Так как геометрическая прогрессия $\sum q^k$ сходится, то по признаку сравнения сходится и исходный ряд.”
• ”$l>1$: По свойству верхнего предела существует подпоследовательность $\sqrt[k_n]{a_{k_n}}\to l>1$. Значит, с некоторого момента $a_{k_n}>1$. Общий член не стремится к нулю, необходимое условие сходимости не выполнено $\Rightarrow$ ряд расходится.”

---

Признак Даламбера

Пусть $a_k>0$ и существует предел ${\lim }_{k\to \infty }\frac{a_{k+1}}{a_k}=l\in [0,+\infty ]$. Тогда:

1. Если $l<1$, то ряд сходится.
2. Если $l>1$, то ряд расходится.

Доказательство

• $l<1$: С некоторого номера $k_0$ выполнено $\frac{a_{k+1}}{a_k}<q<1$. Тогда по индукции $a_k\le q^{k-k_0}{a}_{k_0}$. Сравниваем со сходящейся геометрической прогрессией $\Rightarrow$ ряд сходится.
• $l>1$: С некоторого номера $\frac{a_{k+1}}{a_k}>1$, то есть $a_{k+1}>a_k$. Общий член возрастает и не стремится к нулю $\Rightarrow$ ряд расходится.

---

Интегральный признак Коши (Маклорена)

Пусть функция $f(x)$ неотрицательна и монотонно не возрастает на $[1,+\infty )$. Тогда числовой ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }f(k)$ и несобственный интеграл ${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство

В силу монотонного невозрастания функции $f(x)$, на любом отрезке $[k,k+1]$ справедлива оценка:

$$f(k+1)\le {\int }_k^{k+1}f(x)dx\le f(k).$$

Просуммируем эти неравенства по $k$ от $1$ до $n$:

$$\sum _{k=1}^{n}f(k+1)\le {\int }_1^{n+1}f(x)dx\le \sum _{k=1}^{n}f(k).$$

Обозначим частичную сумму ряда как $S_n$. Неравенство переписывается в виде:

$$S_{n+1}-f(1)\le {\int }_1^{n+1}f(x)dx\le S_n.$$

Функция $F(\omega )={\int }_1^{\omega }f(x)dx$ не убывает. Из двойного неравенства видно, что последовательность частичных сумм $S_n$ ограничена сверху тогда и только тогда, когда ограничен сверху интеграл $F(n+1)$. Следовательно, ряд и интеграл сходятся/расходятся одновременно.