Признаки сравнения

Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами

Пусть $a_k\ge 0$. Тогда последовательность частичных сумм $S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ не убывает и

$$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k=\underset{n}{\sup }{S}_n.$$

Сходимость такого ряда равносильна ограниченности последовательности его частичных сумм (по теореме Вейерштрасса).

Теорема. Признаки сравнения

Пусть $0\le a_k\le b_k$. Тогда:

1. $\sum b_k<+\infty \Rightarrow \sum a_k<+\infty$ (из сходимости бóльшего следует сходимость меньшего);
2. $\sum a_k=+\infty \Rightarrow \sum b_k=+\infty$ (из расходимости меньшего следует расходимость бóльшего);
3. Если $a_k\sim b_k$ при $k\to +\infty$, то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство

• “Пункт 1: $S_n^a\le S_n^b\le \sum b_k<+\infty$. Значит, последовательность $S_n^a$ монотонна и ограничена сверху $\Rightarrow$ имеет конечный предел.”
• “Пункт 2: От противного. Если бы $\sum b_k$ сходился, то по п. 1 сходился бы и $\sum a_k$, что противоречит условию.”
• “Пункт 3: Из $a_k\sim b_k$ следует, что с некоторого номера $k_0$: $\frac{1}{2}{b}_k\le a_k\le \frac{3}{2}{b}_k$. Применяя пп. 1 и 2 к этим неравенствам, получаем одновременную сходимость.”

Предельная форма признака сравнения

Пусть $a_k\ge 0$, $b_k>0$ и ${\lim }_{k\to \infty }\frac{a_k}{b_k}=l\in [0,+\infty ]$.

• “При $l\in (0,+\infty )$ ряды сходятся/расходятся одновременно.”
• “При $l=0$: $a_k$ убывает быстрее $b_k$. Если $\sum b_k$ сходится $\Rightarrow \sum a_k$ сходится.”
• “При $l=+\infty$: $a_k$ убывает медленнее $b_k$. Если $\sum b_k$ расходится $\Rightarrow \sum a_k$ расходится.”

---

Можно и не писать на экзе пример

Пример. Ряд Дирихле (Обобщенный гармонический ряд)

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{\alpha }}$$

Ряд сходится при $\alpha >1$ и расходится при $\alpha \le 1$.

Доказательство

• При $\alpha \le 1$: $\frac{1}{k^{\alpha }}\ge \frac{1}{k}$. Так как гармонический ряд $\sum \frac{1}{k}$ расходится, по признаку сравнения расходится и ряд Дирихле.
• При $\alpha >1$: применим теорему Лагранжа к функции $x^{1-\alpha }$ на отрезке $[n,n+1]$:

$$\frac{1}{n^{\alpha -1}}-\frac{1}{(n+1{)}^{\alpha -1}}=\frac{\alpha -1}{{\xi }^{\alpha }}\ge \frac{\alpha -1}{(n+1{)}^{\alpha }},\xi \in (n,n+1).$$

Суммируем эти неравенства по $n$ от $1$ до $k$ (слева возникает телескопическая сумма):
$$
\frac{1}{\alpha-1}\left(1 - \frac{1}{(k+1)^{\alpha-1}}\right) \ge \sum_{n=1}^k \frac{1}{(n+1)^\alpha}.
$$
Так как левая часть ограничена константой $\frac{1}{\alpha-1}$, частичные суммы ряда ограничены, и ряд сходится.