Критерий Коши сходимости ряда

Определение ряда и его частичных сумм

Пусть задан числовой ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$. Его $n$-я частичная сумма определяется как $s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$. Тогда ряд называется сходящимся, если существует конечный предел ${\lim }_{n\to \infty }{s}_n=S$. В этом случае пишут ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=S$. Если предела нет или он бесконечен, ряд называется расходящимся.

Критерий Коши сходимости ряда

Теорема. Критерий Коши

Ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ сходится тогда и только тогда, когда

$$\forall \epsilon >0\exists N\in \mathbb{N}:\forall m>n\ge N\left|\sum _{k=n+1}^m{a}_k\right|<\epsilon .$$

Иными словами, ряд сходится тогда и только тогда, когда его “хвосты” можно сделать сколь угодно малыми по модулю.

Доказательство

Обозначим частичные суммы ряда через $s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$. Тогда для любых $m>n$ имеем

$$s_m-s_n=a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_m=\sum _{k=n+1}^m{a}_k.$$

С другой стороны, ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится последовательность его частичных сумм $s_n$. А последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна, то есть удовлетворяет критерию Коши:

$$\forall \epsilon >0\exists N:\forall m,n\ge N|s_m-s_n|<\epsilon .$$

Подставляя сюда выражение для разности частичных сумм, получаем $\left|{\sum }_{k=n+1}^m{a}_k\right|<\epsilon$. Тем самым доказана необходимость и достаточность условия.

Следствие

Если ряд сходится тогда и только тогда, когда его хвост ${\sum }_{k=n+1}^m{a}_k$ при $m>n\to \infty$ стремится к нулю.

Пример

Рассмотрим гармонический ряд

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}.$$

Возьмём $m=2n$. Тогда

$$\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\ge \sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}.$$

Значит, для $\epsilon =\frac{1}{2}$ хвост ряда не может быть сколь угодно малым. По критерию Коши ряд расходится.