Определение ряда и его суммы. Простейшие свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда

Определение ряда

Пусть задана последовательность чисел $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$.

Определение. Числовой ряд

Выражение ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ называется числовым рядом.

Определение. Частичная сумма ряда

Для ряда ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ $n$-я частичная сумма определяется как $s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n.$ Последовательность $\{s_n\}$ называется последовательностью частичных сумм ряда.

Сумма ряда

Определение. Сходимость ряда

Ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм: ${\lim }_{n\to \infty }{s}_n=S$.

В этом случае пишут ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=S$, а число $S$ называют суммой ряда.

Если предел частичных сумм не существует или не является конечным числом, то ряд называется расходящимся.

Простейшие свойства рядов

1. Линейность

Если ряды

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{и}\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$$

сходятся, то для любых $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }(\alpha a_n+\beta b_n)$ тоже сходится, и ${\sum }_{n=1}^{\infty }(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n+\beta {\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n.$

Доказательство

Пусть

$$s_n=\sum _{k=1}^n{a}_k,t_n=\sum _{k=1}^n{b}_k.$$

Тогда частичная сумма нового ряда равна

$$\sum _{k=1}^n(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha s_n+\beta t_n.$$

Если $s_n\to S,t_n\to T$, то $\alpha s_n+\beta t_n\to \alpha S+\beta T$. Значит, ряд сходится, и его сумма равна $\alpha S+\beta T$.

2. Изменение конечного числа членов ряда

Сходимость ряда не меняется, если изменить, прибавить или удалить конечное число его членов.

Доказательство

Пусть изменены только первые $m$ членов ряда. Тогда для частичных сумм двух рядов после номера $m$ выполняется

$${\tilde{s}}_n=s_n+C,$$

где $C$ — постоянное число.

Следовательно, если $s_n$ имеет предел, то и ${\tilde{s}}_n$ имеет предел, и наоборот.

3. Суммирование по частям

Если ряд сходится, то любая его «хвостовая» часть тоже имеет смысл как разность суммы ряда и конечной частичной суммы:

$$\sum _{k=n+1}^{\infty }{a}_k=\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k-\sum _{k=1}^n{a}_k.$$

Это часто используют при оценках и в критерии Коши.

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Необходимый признак сходимости

Если ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ сходится, то ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$.

Доказательство

Пусть ряд сходится. Тогда существует предел частичных сумм: $s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n\to S$. Но $a_n=s_n-s_{n-1}$. Так как обе последовательности $s_n$ и $s_{n-1}$ сходятся к одному и тому же числу $S$, то

$$a_n=s_n-s_{n-1}\to S-S=0.$$

Значит, ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$. Теорема доказана.

Следствие

Если ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n\ne 0$ или предела не существует, то ряд расходится.