Специальные функции, задаваемые определенными интегралами: Гамма-функция, Интеграл вероятности, Интегральные синус (Si) и косинус (Ci), Эллиптические интегралы, Интегралы Френеля

Специальные функции, задаваемые несобственными интегралами

1. Гамма-функция

Определение

Гамма-функцией Эйлера называется: $\Gamma (\alpha ):={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$

Область определения

Интеграл имеет две потенциальные особенности:

• В нуле ($\alpha <1$): подынтегральная функция ведёт себя как $x^{\alpha -1}$, а именно как $\frac{1}{x^{1-\alpha }}$, интеграл сходится при $1-\alpha <1$, то есть при $\alpha >0$.
• На бесконечности: множитель $e^{-x}$ гасит любую степень, интеграл сходится при любом $\alpha \in \mathbb{R}$.

Таким образом, $\Gamma (\alpha )$ определена при $\alpha >0$.

Рекуррентная формула (формула понижения)

Утверждение: $\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha ),\alpha >0$

Доказательство

Интегрируем по частям, полагая $u=x^{\alpha }$, $dv=e^{-x}dx$, то есть $du=\alpha x^{\alpha -1}dx$, $v=-e^{-x}$: $\Gamma (\alpha +1)={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-x}dx={\left[-x^{\alpha }{e}^{-x}\right]}_0^{+\infty }+\alpha {\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$

Граничный член: при $x\to +\infty$ имеем $x^{\alpha }{e}^{-x}\to 0$ (экспонента побеждает любую степень); при $x=0$ имеем $0^{\alpha }\cdot 1=0$ при $\alpha >0$. Итого: $\Gamma (\alpha +1)=0+\alpha \Gamma (\alpha )=\alpha \Gamma (\alpha ).$

Связь с факториалом

Из определения: $\Gamma (1)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=1$. Применяя рекуррентную формулу $n$ раз: $\Gamma (n+1)=n\cdot \Gamma (n)=n(n-1)\cdot \Gamma (n-1)=\cdots =n!\cdot \Gamma (1)=n!$

---

2. Интеграл вероятности

Определение

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$

Дополнительная функция ошибок: $\mathrm{erfc}(x)=1-\mathrm{erf}(x)$.

Свойства

• $\mathrm{erf}(x)$ — нечётная: $\mathrm{erf}(-x)=-\mathrm{erf}(x)$.
• $\mathrm{erf}(0)=0$, ${\lim }_{x\to +\infty }\mathrm{erf}(x)=1$.

---

3. Интегральные синус и косинус

Определения

$\mathrm{Si}(x)={\int }_0^x\frac{\sin t}{t}dt,\mathrm{Ci}(x)=-{\int }_x^{+\infty }\frac{\cos t}{t}dt(x>0)$

Поведение на бесконечности

Из вычисления интеграла Дирихле: $\mathrm{Si}(+\infty )={\int }_0^{+\infty }\frac{\sin t}{t},dt=\frac{\pi }{2}$

Для $\mathrm{Ci}$: интеграл ${\int }_x^{+\infty }\frac{\cos t}{t},dt$ сходится условно по признаку Дирихле и $\mathrm{Ci}(x)\to 0$ при $x\to +\infty$.

---

4. Эллиптические интегралы

Определения

Эллиптические интегралы возникают при вычислении длины дуги эллипса и в задачах о маятнике. Они делятся на три рода:

• Первого рода: $F(\phi ,k)={\int }_0^{\phi }\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}$

• Второго рода: $E(\phi ,k)={\int }_0^{\phi }\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }d\theta$

• Третьего рода: $\Pi (n,\phi ,k)={\int }_0^{\phi }\frac{d\theta }{(1-n{\sin }^2\theta )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}$

Здесь $k\in (0,1)$ это эксцентриситет, $n$ — параметр. При $\phi =\pi /2$ говорят о полных эллиптических интегралах $K(k)=F(\pi /2,k)$ и $E(k)=E(\pi /2,k)$.

Физический смысл

Период колебаний математического маятника длины $l$ при амплитуде ${\theta }_0$ равен: $T=4\sqrt{\frac{l}{g}}F\left(\frac{\pi }{2},\sin \frac{{\theta }_0}{2}\right)$

Длина дуги эллипса $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ с эксцентриситетом $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$ равна $4aE(e)$.

---

5. Интегралы Френеля

Определения

$C(x)={\int }_0^x\cos \left(\frac{\pi t^2}{2}\right)dt,S(x)={\int }_0^x\sin \left(\frac{\pi t^2}{2}\right)dt$

Свойства

• Нечётность: $C(-x)=-C(x)$, $S(-x)=-S(x)$.
• Асимптотика при малых $x$: $C(x)\approx x$, $S(x)\approx \frac{\pi x^3}{6}$, при больших x: $C(x)\approx \frac{1}{2}+\frac{\sin \left(\frac{\pi x^2}{2}\right)}{\pi x}$, $S(x)\approx \frac{1}{2}-\frac{\cos \left(\frac{\pi x^2}{2}\right)}{\pi x}$
• Связь с комплексной экспонентой: $C(x)+iS(x)={\int }_0^x{e}^{i\pi t^2/2}dt$
• $C(+\infty )=S(+\infty )=\frac{1}{2}$