Основные методы интегрирования

Основные методы интегрирования

Замена переменной

Теорема

Пусть $f$ имеет первообразную на $⟨a,b⟩$, $\phi :⟨\alpha ,\beta ⟩\to ⟨a,b⟩$ дифференцируема. Тогда

$$\int f(x)dx=\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt{|}_{t={\phi }^{-1}(x)}.$$

Доказательство

Пусть $F$ — первообразная $f$. По теореме о производной сложной функции $F(\phi (t))$ — первообразная $(f\circ \phi )\cdot {\phi }^{\prime }$, откуда равенство множеств первообразных. $\square$

На практике: если $x=\phi (t)$, то $dx={\phi }^{\prime }(t)dt$ — «механическая» замена.

Пример

$$\int x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int e^{x^2}d(x^2)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C.$$

Интегрирование по частям

Теорема

Пусть $u$, $v$ дифференцируемы на $⟨a,b⟩$ и существует первообразная $v{u}^{\prime }$. Тогда

$$\int udv=uv-\int vdu.$$

Доказательство

Из формулы $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ следует $u{v}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }-u^{\prime }v$. Интегрируя обе части:

$$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int v{u}^{\prime }dx.\square$$

Примеры

$$\int x\sin xdx=[u=x,dv=\sin xdx]=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+C.$$

Самосводящийся интеграл (применяем формулу дважды):

$$\int e^x\sin xdx=-e^x\cos x+\int e^x\cos xdx=-e^x\cos x+e^x\sin x-\int e^x\sin xdx,$$ $$\int e^x\sin xdx=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C.$$