Регуляризация (методы вычисления) несобственных интегралов

Идея регуляризации

Регуляризация несобственного интеграла — это приведение его к виду, в котором его удобно вычислять или исследовать на сходимость.

Обычно используются:

• “замена переменной;”
• “интегрирование по частям;”
• “разбиение интеграла по промежутку;”
• “сведение интеграла второго рода к интегралу первого рода;”
• “выделение особенности и сравнение с эталонными интегралами.”

---

Сведение интеграла второго рода к интегралу первого рода

Если у функции особенность в конечной точке $b$, то делают замену

$$x=b-\frac{1}{t}.$$

Тогда при $x\to b-0$ имеем $t\to +\infty$, и интеграл второго рода переписывается как интеграл по неограниченному промежутку:

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\frac{1}{b-a}}^{+\infty }f\left(b-\frac{1}{t}\right)\frac{dt}{t^2}.$$

Аналогично, если особенность в точке $a$, используют замену $x=a+\frac{1}{t}$.

Особенность функции (в контексте несобственных интегралов) — это точка, в окрестности которой функция перестаёт быть ограниченной или теряет непрерывность, что делает интеграл по обычному (собственному) смыслу неопределённым.

---

Замена переменной

Теорема. Формула замены переменной

Пусть $x=\phi (t)$ — дифференцируемая замена переменной, $\phi (\alpha )=a$, $\phi (\beta )=b$. Тогда

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt.$$

Если один из пределов бесконечен или является точкой особенности, переход выполняется через соответствующий предельный переход.

Пример

Вычислим

$${\int }_0^{\infty }x{e}^{-x^2}dx.$$

Полагаем $t=x^2$, тогда $dt=2xdx$, и

$${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-t}dt=\underset{\omega \to +\infty }{\lim }{\left(-\frac{1}{2}{e}^{-t}\right)|}_0^{\omega }=$$ $$=\underset{\omega \to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{2}{e}^{-\omega }+\frac{1}{2}{e}^0\right)=\frac{1}{2}.$$

Интеграл сходится и равен $\frac{1}{2}$.

---

Интегрирование по частям

Теорема. Формула интегрирования по частям

Пусть $u=u(x)$ и $v=v(x)$ дифференцируемы. Тогда

$${\int }_a^{b}udv=uv-{\int }_a^{b}vdu.$$

Для несобственных интегралов формула тоже верна при условии существования соответствующих пределов.

Интегрирование по частям особенно удобно для произведений функций разной природы: $x{e}^x$, $x\sin x$, $\ln x$, $e^x\sin x$, $x^n{e}^x$ и т.п.

Разбиение интеграла

Если интеграл имеет особенность внутри промежутка, то при $c\in (a,b)$ его разбивают на сумму двух несобственных интегралов:

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx.$$

Интеграл считается сходящимся только тогда, когда сходятся оба слагаемых.

---

Сравнение с эталонными интегралами

Стандартные интегралы, с которыми проводят сравнение:

$${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p},{\int }_0^1\frac{dx}{x^p}.$$

• Интеграл ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}$ сходится тогда и только тогда, когда $p>1$
• Интеграл ${\int }_0^1\frac{dx}{x^p}$ сходится тогда и только тогда, когда $p<1$

Если подынтегральную функцию можно оценить сверху или снизу через выражение такого вида, то сходимость часто определяется сразу по признаку сравнения