Несобственные интегралы первого рода

Определение. Понятие локальной интегрируемости

Говорят, что функция $f$ локально интегрируема на множестве $E$, и пишут $f\in R_{loc}(E)$, если $f\in R[a,b]$ для любого $[a,b]\subset E$.

Определение. Понятие несобственного интеграла

Пусть $f\in R_{loc}[a,b)$, $-\infty <a<b\le +\infty$. Тогда символ

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx,$$

называется несобственным интегралом от функции $f$ по множеству $[a,b)$ и определяется как предел

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx=\underset{\omega \to b-0}{\lim }\underset{a}{\overset{\omega }{\int }}fdx,$$

где $\omega \in [a,b)$

Если этот предел существует и конечен (принадлежит $\mathbb{R}$), то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или равен бесконечности — интеграл называется расходящимся

Определение. Понятия несобственного интеграла 1 рода

Несобственный интеграл первого рода - это несобственный интеграл по неограниченному промежутку:

$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx,{\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx,{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx.$$

Пример

Исследуем интеграл

$${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}.$$

Тогда

$${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}$$

сходится тогда и только тогда, когда

$$p>1.$$

Свойства

Линейность

Пусть $f\in R_{loc}[a,b)$. Если сходятся интегралы

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx\text{и}\underset{a}{\overset{b}{\int }}gdx,$$

то

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f+\beta g)dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}gdx.$$

Доказательство

Для доказательства достаточно перейти к пределу при $\omega \to b-0$ в равенстве, свойствами интеграла для интеграла Римана:

$$\underset{a}{\overset{\omega }{\int }}(\alpha f+\beta g)dx=\alpha \underset{a}{\overset{\omega }{\int }}fdx+\beta \underset{a}{\overset{\omega }{\int }}gdx.$$

---

• Аддитивность

Пусть $f\in R_{loc}[a,b)$. Тогда для любого $c\in (a,b)$ справедливо равенство

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}fdx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}fdx,$$

причем интегралы

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx\text{и}\underset{c}{\overset{b}{\int }}fdx$$

сходятся или нет одновременно.

Доказательство

Для доказательства достаточно перейти к пределу при $\omega \to b-0$ в равенстве, свойствами интеграла:

$$\underset{a}{\overset{\omega }{\int }}fdx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}fdx+\underset{c}{\overset{\omega }{\int }}fdx.$$

Данная теорема позволяет свести вопрос сходимости интеграла к вопросу стремления к нулю остатка или, как еще говорят, «хвоста» интеграла.

---

• Монотонность

Пусть $f,g\in R_{loc}[a,b)$, причем

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx\in \overline{\mathbb{R}}\text{и}\underset{a}{\overset{b}{\int }}gdx\in \overline{\mathbb{R}}.$$

Если $f\le g$ на $[a,b)$, то

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}gdx.$$

Доказательство

Для доказательства достаточно перейти к пределу при $\omega \to b-0$ в неравенстве, свойствами интеграла:

$$\underset{a}{\overset{\omega }{\int }}fdx\le \underset{a}{\overset{\omega }{\int }}gdx.$$

Теорема. Критерий Коши

Пусть $f\in R_{loc}[a,b)$. Для того чтобы интеграл

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx$$

сходился необходимо и достаточно, чтобы

$$\forall \epsilon >0\exists \Delta \in (a,b):\forall {\delta }_1,{\delta }_2\in (\Delta ,b)\Rightarrow \left|\underset{{\delta }_1}{\overset{{\delta }_2}{\int }}fdx\right|<\epsilon .$$

Доказательство

Обозначим

$$F(\omega ):=\underset{a}{\overset{\omega }{\int }}fdx.$$

Согласно понятие несобственного интеграла и его свойства, сходимость интеграла равносильна существованию предела функции $F(\omega )$ при $\omega \to b-0$. Согласно критерию Коши существования предела функции, это выполнено тогда и только тогда, когда

$$\forall \epsilon >0\exists \Delta \in (a,b):\forall {\delta }_1,{\delta }_2\in (\Delta ,b)\Rightarrow \left|F({\delta }_2)-F({\delta }_1)\right|<\epsilon .$$

Последнее же неравенство, в силу свойств интеграла, переписывается как

$$\left|F({\delta }_2)-F({\delta }_1)\right|<\epsilon \iff \left|\underset{{\delta }_1}{\overset{{\delta }_2}{\int }}fdx\right|<\epsilon ,$$

откуда и следует требуемое.

Теорема. Критерий сходимости интеграла от неотрицательной функции

Пусть $f\in R_{loc}[a,b)$, $f\ge 0$. Тогда функция

$$F(\omega ):=\underset{a}{\overset{\omega }{\int }}fdx,\omega \in [a,b),$$

не убывает, а сходимость интеграла

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx$$

равносильна ограниченности функции $F(\omega )$.

Доказательство

Ясно, что если $a\le {\omega }_1\le {\omega }_2<b$, то, так как $f\ge 0$, по свойствам интеграла интеграла Римана,

$$\underset{{\omega }_1}{\overset{{\omega }_2}{\int }}fdx\ge 0.$$

Но тогда

$$F({\omega }_2)=\underset{a}{\overset{{\omega }_2}{\int }}fdx=\underset{a}{\overset{{\omega }_1}{\int }}fdx+\underset{{\omega }_1}{\overset{{\omega }_2}{\int }}fdx\ge \underset{a}{\overset{{\omega }_1}{\int }}fdx=F({\omega }_1),$$

откуда $F({\omega }_2)\ge F({\omega }_1)$, что и доказывает неубывание $F(\omega )$.

Значит, вопрос сходимости несобственного интеграла, то есть вопрос существования конечного предела $F(\omega )$ при $\omega \to b-0$, сводится к теореме Вейерштрасса. Как мы знаем, конечность предела (или сходимость заявленного интеграла) в этом случае равносильна ограниченности $F(\omega )$.

Признаки сравнения

Пусть $f,g\in R_{loc}[a,b)$ и $0\le f\le g$ при $x\in [a,b)$. Тогда:

1. Сходимость интеграла от $g$ по $[a,b)$ влечет сходимость интеграла от $f$ по $[a,b)$ , то есть

   $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}gdx<+\infty \Rightarrow \underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx<+\infty .$$

2. Расходимость интеграла от $f$ по $[a,b)$ влечет расходимость интеграла от $g$ по $[a,b)$, то есть

   $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx=+\infty \Rightarrow \underset{a}{\overset{b}{\int }}gdx=+\infty .$$

3. Если $f\sim g$ при $x\to b-0$, то интегралы от $f$ и $g$ по $[a,b)$ сходятся или расходятся одновременно.