Численные методы вычисления определённых интегралов

Численные методы вычисления определённых интегралов

Основной принцип интерполяции в численных методах

Для вычисления определённого интеграла ${\int }_a^{b}f(x)dx$ в случае, когда первообразную аналитически найти сложно или вовсе нельзя, можно воспользоваться численными методами интегрирования.

На каждом отрезке разбиения мы заменим $f(x)$ простым многочленом $P_n(x)$, который в фиксированных точках принимает те же значения, что и $f(x)$. Мы интегрируем заменяющий её интерполяционный многочлен $P_n(x)$, интеграл от которого берётся просто.В итоге получаем:

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\int }_a^b{P}_n(x)dx$$

В зависимости от степени многочлена $n$, который мы выбираем для приближения, получаются различные классические методы:

• При $n=0$ (замена константой) — методы прямоугольников.
• При $n=1$ (замена прямой линией) — метод трапеций.
• При $n=2$ (замена параболой) — метод Симпсона.

---

1. Метод прямоугольников (левых, правых и средних)

Суть метода

Мы разбиваем отрезок $[a,b]$ на $n$ равных частей шагом $h=\frac{b-a}{n}$. На каждом элементарном отрезке $[x_k,x_{k+1}]$ функция $f(x)$ интерполируется многочленом нулевой степени $P_0(x)=C$ (горизонтальной константой). В методе левых прямоугольников за константу берётся значение на левом конце: $C=f(x_k)$, правых - $C=f(x_{k+1})$, средних - $C=f(\frac{x_k+x_{k+1}}{2})=f(x_k+h)$.

• Левые прямоугольники (значение берется в левом конце отрезка $x_{i-1}$): $$I\approx I_{\text{лев}}=h\sum _{i=1}^{n}f(x_{i-1})=h(f(x_0)+f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1}))$$
• Правые прямоугольники (значение берется в правом конце отрезка $x_i$): $$I\approx I_{\text{прав}}=h\sum _{i=1}^{n}f(x_i)=h(f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n))$$
• Средние прямоугольники (значение берется в середине отрезка): $$I\approx I_{\text{ср}}=h\sum _{i=0}^{n-1}f\left(x_i+\frac{h}{2}\right)$$

Точность

Для многочленов нулевой степени (констант) левые и правые дают абсолютно точный результат. Метод средних прямоугольников абсолютно точен и для многочленов первой степени (прямых).

2. Метод трапеций

При $n=1$ мы заменяем функцию $f(x)$ на каждом элементарном отрезке разбиения $[0,h]$ интерполяционным многочленом первой степени (прямой линией): $P_1(x)=Ax+B$ Составим систему уравнений для определения коэффициентов $A$ и $B$ через значения функции в узлах $x=0$ и $x=h$:

$$\{\begin{array}{l}f(0)=B\\ f(h)=Ah+B\end{array}$$

Отсюда выразим коэффициенты и их комбинации:

$$B=f(0),Ah=f(h)-f(0)$$

Проинтегрируем полученный многочлен прямой на промежутке $[0,h]$:

$${\int }_0^h{P}_1(x)dx={\int }_0^h(Ax+B)dx=$$ $$={\int }_0^h(Ax+B)dx={\left(A\frac{x^2}{2}+Bx\right)|}_0^h=A\frac{h^2}{2}+Bh=$$ $$=\frac{h}{2}\left(Ah+2B\right)=\frac{h}{2}\left((f(h)-f(0))+2f(0)\right)=\frac{h}{2}\left(f(0)+f(h)\right)$$

Таким образом, мы получили формулу трапеций для одного элементарного отрезка $[x_k,x_{k+1}]$:

$${\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx\approx \frac{h}{2}\left(f(x_k)+f(x_{k+1})\right)$$

Суммируя интегралы по всем $n$ отрезкам разбиения промежутка $[a,b]$, получаем общую составную формулу трапеций:

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{2}\left(f(x_0)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(x_n)\right)$$

где $h=\frac{b-a}{n}$ — шаг разбиения, а $x_k=a+kh$.

Точность

Метод абсолютно точен для многочленов до 1-й степени включительно (константы и линейные функции).

3. Метод Симпсона (парабол)

Суть метода

Нам требуется три узла, поэтому мы объединяем два соседних элементарных отрезка разбиения $[x_{k-1},x_k]$ и $[x_k,x_{k+1}]$ одинаковой длины $h$. На этом сдвоенном промежутке функция $f(x)$ интерполируется многочленом второй степени $P_2(x)=A{x}^2+Bx+C$ (квадратичной параболой).

Временно перенесем начало координат в среднюю точку $x_k=0$. Тогда левый узел будет равен $-h$, а правый узел будет $+h$.

Запишем систему уравнений, отражающую тот факт, что парабола $P_2(x)=A{x}^2+Bx+C$ совпадает с функцией в узлах:

1. $P_2(-h)=A{h}^2-Bh+C=f(-h)$
2. $P_2(0)=C=f(0)$
3. $P_2(h)=A{h}^2+Bh+C=f(h)$

Из второго уравнения сразу имеем явный вид для свободного коэффициента: $C=f(0)$. Сложим первое и третье уравнения, чтобы избавиться от линейного коэффициента $B$:

$$f(-h)+f(h)=2A{h}^2+2C=2A{h}^2+2f(0)⟹2A{h}^2=f(-h)+f(h)-2f(0)$$

Проинтегрируем полученный многочлен параболы на симметричном промежутке $[-h,h]$:

$${\int }_{-h}^h{P}_2(x)dx={\int }_{-h}^h(A{x}^2+Bx+C)dx$$

Поскольку функция $Bx$ является нечётной, её интеграл по симметричному отрезку обращается в ноль. Остаётся вычислить интеграл от чётных степеней:

\int_{-h}^{h} (Ax^2 + C) dx = \left. \left( A\frac{x^3}{3} + Cx \right) \right|_{-h}^{h} =$$ $$=\left( A\frac{h^3}{3} + Ch \right) - \left( -A\frac{h^3}{3} - Ch \right) = \frac{2}{3}Ah^3 + 2Ch

Вынесем общий множитель $\frac{h}{3}$ за скобки, чтобы искусственно выделить комбинацию $2A{h}^2$:

$${\int }_{-h}^h{P}_2(x)dx=\frac{h}{3}\left(2A{h}^2+6C\right)$$

Теперь подставим выраженные ранее через значения функции коэффициенты $2A{h}^2$ и $C$:

\int_{-h}^{h} P_2(x) dx = \frac{h}{3} \left( \big[f(-h) + f(h) - 2f(0)\big] + 6f(0) \right) =$$ $$= \frac{h}{3} \left( f(-h) + 4f(0) + f(h) \right)

Возвращаясь от сдвинутых координат обратно к общим узлам сетки ($x_{k-1},x_k,x_{k+1}$), мы получаем локальную формулу Симпсона:

$$S_{\text{лок}}=\frac{h}{3}\left(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\right)$$

Применяя локальную формулу Симпсона к каждой паре отрезков и суммируя полученные площади, заметим, что узлы с нечетными индексами входят в сумму с коэффициентом 4, а внутренние узлы с четными индексами (будучи границами сдвоенных отрезков) суммируются дважды и получают коэффициент 2.

Итоговая квадратурная формула Симпсона имеет следующий вид для $n=2m$: ${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4{\sum }_{k=1}^{m}f(x_{2k-1})+2{\sum }_{k=1}^{m-1}f(x_{2k})+f(x_{2m})\right]$

Точность

За счет симметрии параболы кубический член погрешности взаимно уничтожается при интегрировании. Поэтому формула Симпсона дает абсолютно точный результат для многочленов до третьей степени включительно.