Объем

Вычисление объёмов тел

Общий метод (по площадям поперечных сечений)

Если для тела $T$, заключённого между плоскостями $x=a$ и $x=b$, известна площадь его сечения $S(x)$ плоскостью, перпендикулярной оси $OX$, то его объём вычисляется по формуле:

$$V(T)={\int }_a^{b}S(x)dx$$

Доказательство

Разобьём отрезок $[a,b]$ на $n$ частей точками $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ и обозначим $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$. В каждом сечении $[x_{k-1},x_k]$ площадь поперечного сечения меняется от минимального значения $m_k$ до максимального $M_k$. Объём тела заключён между объёмами “ступенчатых” тел:

$$\sum _{k=1}^n{m}_k\Delta x_k\le V(T)\le \sum _{k=1}^n{M}_k\Delta x_k$$

Левая и правая части представляют собой суммы Дарбу для функции $S(x)$. Если $S(x)$ непрерывна (или просто интегрируема), то при стремлении ранга разбиения к нулю эти суммы стремятся к интегралу ${\int }_a^{b}S(x)dx$. Следовательно, по теореме о сжатой переменной, объём тела $V(T)$ равен этому интегралу.

Объём тела вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y=f(x)\ge 0$, осью $OX$ и прямыми $x=a$, $x=b$. При вращении этой трапеции вокруг оси $OX$ получается тело вращения. В сечении такого тела плоскостью, перпендикулярной оси $OX$ в точке $x$, образуется круг радиуса $f(x)$, площадь которого равна:

$$S(x)=\pi f^2(x)$$

Подставляя это выражение в общую формулу для объёма, получаем:

$$V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$$