Длина дуги

Вычисление длины дуги плоской кривой

1. Параметрическое задание кривой

Пусть непрерывная простая кривая $AB$ задана уравнениями:

$$x=\varphi (t),y=\psi (t)(t_0⩽t⩽T)$$

Длина кривой определяется как точная верхняя граница периметров вписанных ломаных: $S=\sup \{p\}$.

Обоснование формулы: Если функции $\varphi (t)$ и $\psi (t)$ имеют непрерывные производные, то кривая функция длины переменной дуги $s(t)$ дифференцируема. Её производная равна:

$$s_t^{\prime }=\sqrt{x_t^{\prime }{}^2+y_t^{\prime }{}^2}=\sqrt{[{\varphi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}$$

По формуле Ньютона-Лейбница, интегрируя производную $s_t^{\prime }$ в пределах от $t_0$ до $T$, получаем полную длину кривой:

$$S=s(T)-s(t_0)={\int }_{t_0}^T\sqrt{x_t^{\prime }{}^2+y_t^{\prime }{}^2}dt={\int }_{t_0}^T\sqrt{[{\varphi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}dt$$

Длина переменной дуги с началом в точке $t_0$:

$$s(t)={\int }_{t_0}^t\sqrt{x_t^{\prime }{}^2+y_t^{\prime }{}^2}dt$$

---

2. Явное задание в декартовых координатах

Пусть кривая задана уравнением $y=f(x)$ на отрезке $[x_0,X]$.

Вывод из общего случая: Принимая абсциссу $x$ за параметр, имеем: $x=x⟹x_x^{\prime }=1$, а $y_x^{\prime }=f^{\prime }(x)$. По формуле 1 пункта:

$$S={\int }_{x_0}^X\sqrt{1+y_x^{\prime }{}^2}dx={\int }_{x_0}^X\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

Длина переменной дуги:

$$s(x)={\int }_{x_0}^x\sqrt{1+y_x^{\prime }{}^2}dx$$

---

3. Задание в полярных координатах

Пусть кривая задана полярным уравнением $r=g(\theta )$ при ${\theta }_0⩽\theta ⩽\Theta$.

Вывод из общего случая:

$$x=r\cos \theta =g(\theta )\cos \theta ,y=r\sin \theta =g(\theta )\sin \theta$$

Дифференцируя по $\theta$:

$$x_{\theta }^{\prime }=r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta ,y_{\theta }^{\prime }=r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta$$

Т. к. (${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$) получаем:

$$x_{\theta }^{\prime }{}^2+y_{\theta }^{\prime }{}^2=(r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta {)}^2+(r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta {)}^2=r^2+r_{\theta }^{\prime }{}^2$$

По формуле 1 пункта:

$$S={\int }_{{\theta }_0}^{\Theta }\sqrt{r^2+r_{\theta }^{\prime }{}^2}d\theta ={\int }_{{\theta }_0}^{\Theta }\sqrt{[g(\theta ){]}^2+[g^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$$

Длина переменной дуги:

$$s(\theta )={\int }_{{\theta }_0}^{\theta }\sqrt{r^2+r_{\theta }^{\prime }{}^2}d\theta$$