Площадь

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь в прямоугольных координатах

Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной кривой $y=f(x)$, осью $OX$ и двумя прямыми $x=a$ и $x=b$ ($a<b$), находится по формуле:

$$S={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

Если фигура ограничена двумя кривыми $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$ ($f_2(x)\ge f_1(x)$ на $[a,b]$) и прямыми $x=a$, $x=b$, то её площадь вычисляется по формуле:

$$S={\int }_a^b[f_2(x)-f_1(x)]dx$$

Если на отрезке $[a,b]$ подынтегральная функция меняет знак, его следует разделить на части, в каждой из которых знак постоянен. Площади участков над осью $OX$ берутся со знаком “плюс”, а под осью — со знаком “минус”.

Параметрическое задание кривой

Пусть граница фигуры задана параметрически: $x=\varphi (t)$, $y=\psi (t)$, где $t\in [\alpha ,\beta ]$, причём обход контура происходит против часовой стрелки. Тогда площадь можно вычислить как:

$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }\psi (t){\varphi }^{\prime }(t)dt$$

Доказательство

В этом случае кривую можно рассматривать как график функции $y=f(x)$, где параметр $t$ служит промежуточной переменной. Используя формулу площади в декартовых координатах $S={\int }_a^{b}ydx$ и выполняя замену переменной $x=\varphi (t)$, $dx={\varphi }^{\prime }(t)dt$, получаем:

$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }\psi (t){\varphi }^{\prime }(t)dt$$