Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона—Лейбница

Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть $f\in R[a,b]$, $x\in [a,b]$. Функция $\Phi (x):={\int }_a^{x}fdx$ называется интегралом с переменным верхним пределом. Геометрически (при $f\ge 0$) это площадь под графиком $f$ на $[a,x]$.

Непрерывность $\Phi$

$\Phi \in C[a,b]$

Доказательство

$f$ ограничена: $|f|\le C$. Тогда $|\Phi (x_0+\Delta x)-\Phi (x_0)|=|{\int }_{x_0}^{x_0+\Delta x}f|\le C|\Delta x|\to 0$ при $\Delta x\to 0$.

Дифференцируемость $\Phi$

Для произвольной интегрируемой функции $\Phi$ может не быть дифференцируемой. Пример: $f=\mathrm{sign}$, $\Phi (x)={\int }_{-1}^x\mathrm{sign}$ имеет в нуле односторонние производные $1$ и $-1$, но не дифференцируема.

Теорема (Барроу)

$\Phi$ дифференцируема в точках непрерывности $f$, причём ${\Phi }^{\prime }(x_0)=f(x_0)$

Т.е. если $f(x)$ - непрерывна, то $\Phi (x)$ - её первообразная

Доказательство

Рассмотрим

$$|\frac{\Phi (x_0+\Delta x)-\Phi (x_0)}{\Delta x}-f(x_0)|=|\frac{{\int }_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))dt}{\Delta x}|$$

По непрерывности $f$ в $x_0$ для $\epsilon >0$ найдётся $\delta$, что при $|t-x_0|<\delta$ верно $|f(t)-f(x_0)|<\epsilon$. При $|\Delta x|<\delta$ модуль меньше $\epsilon \cdot |{\int }_{x_0}^{x_0+\Delta x}dt/\Delta x|=\epsilon$

Следствие: существование первообразной у непрерывной функции

Всякая $f\in C[a,b]$ имеет первообразную, и любая её первообразная имеет вид $F(x)={\int }_a^{x}fdt+C$.

Формула Ньютона—Лейбница для непрерывных функций

Теорема

Если $f\in C[a,b]$ и $F$ — её первообразная, то

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx=F(b)-F(a).$$

Доказательство

По следствию выше $F(x)={\int }_a^{x}fdt+C⟹F(a)={\int }_a^{a}fdt+C=C$Тогда $F(x)={\int }_a^{x}fdt+F(a)$. При $x=b$ получаем требуемое.

Обозначение двойной подстановки: $F{|}_a^b:=F(b)-F(a)$.

Усиленная формула Ньютона—Лейбница

Теорема

Если $f\in R[a,b]$ и $F$ — её первообразная на $[a,b]$, то

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f=F(b)-F(a).$$

Доказательство

На равномерном разбиении $x_k=a+k(b-a)/n$ по теореме Лагранжа $F(x_k)-F(x_{k-1})=f({\xi }_k^n)\Delta x_k$Тогда $F(b)-F(a)=\sum f({\xi }_k^n)\Delta x_k$ — интегральная сумма. При $n\to \infty$ (т.е. $\lambda (\tau )\to 0$) предел равен ${\int }_a^{b}f$.

Обобщённые первообразные и формула Ньютона—Лейбница

Определение.

$F\in C(⟨a,b⟩)$ называется обобщённой первообразной $f$, если $F^{\prime }=f$ всюду, кроме конечного числа точек.

Теорема

Если $f\in R[a,b]$, а $F$ — обобщённая первообразная, то ${\int }_a^{b}f=F(b)-F(a)$.

Доказательство

Разбиваем $[a,b]$ точками, где нарушено $F^{\prime }=f$, на каждом частичном отрезке применяем формулу Ньютона—Лейбница через предельный переход $\epsilon \to 0+$ и суммируем.

---

О связи интегрируемости и наличия первообразной

Понятия напрямую не связаны.

• $\mathrm{sign}(x)\in R[-1,1]$, но не имеет первообразной (только обобщённую).
• Производная $x^2\sin (1/x^2)$ имеет первообразную, но не интегрируема на $[-1,1]$ (не ограничена).