Условия существования определенного интеграла

Условия существования определённого интеграла

Критерии в терминах сумм и интегралов Дарбу

Теорема

Следующие утверждения равносильны:

1. $f\in R[a,b]$.
2. Критерий Дарбу:

$$\underset{\lambda (\tau )\to 0}{\lim }(S_{\tau }(f)-s_{\tau }(f))=0.$$

3. Критерий Римана:

$$\forall \epsilon >0\exists \tau :S_{\tau }(f)-s_{\tau }(f)<\epsilon .$$

4. Критерий в терминах интегралов Дарбу: $f$ ограничена и $I_{\ast }(f)=I^{\ast }(f)={\int }_a^{b}fdx$.

Доказательство

• $1\Rightarrow 2$: Из $|{\sigma }_{\tau }-I|<\epsilon /3$ при мелкости $\lambda (\tau )<\delta$ переходим к супремуму и инфимуму по оснащению $\xi$. Получаем $S_{\tau }\le I+\epsilon /3$ и $s_{\tau }\ge I-\epsilon /3$, откуда $S_{\tau }-s_{\tau }<\epsilon$.

• $2\Rightarrow 3$: Очевидно.

• $3\Rightarrow 4$: Конечность сумм Дарбу даёт ограниченность $f$. Из $S_{\tau }-s_{\tau }<\epsilon$ и неравенств $I_{\ast }\ge s_{\tau }$, $I^{\ast }\le S_{\tau }$ получаем $I^{\ast }-I_{\ast }<\epsilon$, значит, $I^{\ast }=I_{\ast }$.

• $4\Rightarrow 1$: $s_{\tau }\le {\sigma }_{\tau }\le S_{\tau }$, и обе стремятся к $I$ при $\lambda (\tau )\to 0$. По теореме о сжатой переменной ${\sigma }_{\tau }\to I$.

---

Критерии в терминах колебаний

Колебание функции $f$ на множестве $E$:

$$\omega (f,E)=\underset{x,y\in E}{\sup }|f(x)-f(y)|=\underset{E}{\sup }f-\underset{E}{\inf }f.$$

Теорема. Следующие утверждения равносильны:

1. $f\in R[a,b]$
2. $\underset{\lambda (\tau )\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\omega (f,{\Delta }_i)\Delta x_i=0$
3. $\forall \epsilon >0\exists \tau :\sum _{i=1}^n\omega (f,{\Delta }_i)\Delta x_i<\epsilon$

Доказательство немедленно следует из $S_{\tau }-s_{\tau }=\sum \omega (f,{\Delta }_i)\Delta x_i$.

---

Классы интегрируемых функций

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема

$f\in C[a,b]\Rightarrow f\in R[a,b]$

Доказательство

По теореме Кантора $f$ равномерно непрерывна: для $\epsilon >0$ найдётся $\delta$, при котором $|x_1-x_2|<\delta$ влечёт $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon /(b-a)$. При $\lambda (\tau )<\delta$ колебание на каждом ${\Delta }_i$ меньше $\epsilon /(b-a)$. Тогда $\sum \omega (f,{\Delta }_i)\Delta x_i<\epsilon$, и по критерию Римана $f\in R[a,b]$.

Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва

Теорема

Ограниченная на $[a,b]$ функция с конечным числом точек разрыва интегрируема.

Доказательство

Вокруг каждой из $k$ точек разрыва строим интервалы малой длины (суммарно $<\epsilon /(4C)$, где $|f|\le C$). На оставшихся отрезках $f$ непрерывна и равномерно непрерывна, что даёт колебание $<\epsilon /(2(b-a))$. Суммируя, получаем общую сумму колебаний $<\epsilon$, и по критерию Римана $f$ интегрируема.

Интегрируемость монотонной функции

Теорема

Монотонная на $[a,b]$ функция интегрируема.

Доказательство

Пусть $f$ не убывает и не постоянна. Берём $\delta =\epsilon /(f(b)-f(a))$ и разбиение с $\lambda (\tau )<\delta$. Тогда

$$\sum \omega (f,{\Delta }_i)\Delta x_i<\delta \sum (f(x_i)-f(x_{i-1}))=\delta (f(b)-f(a))=\epsilon .$$

По критерию Римана $f\in R[a,b]$.